Kovariančná matica

Kovariančná matica (iné názvy: kovariantná matica,variančná matica, variantná matica, variančno-kovariančná matica) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike matica, ktorá má na priesečníku i-teho riadku a j-teho stĺpca kovarianciu medzi i-tym a j-tym prvkom náhodného vektora.

Definícia

Majme p-rozmerný náhodný vektor $𝐗=(X_1,X_2,\cdots ,X_p{)}^T$. Nech pre jednotlivé disperzie skalárnych náhodných premenných $X_k$, kde $k=1,\cdots ,p$, platí, že sú konečné, teda: $D(X_k)<\mathrm{\infty }$. Potom symetrická matica rozmeru $p\times p$, ktorá má na priesečníku i-teho riadku a j-teho stĺpca kovarianciu prvkov $X_i$ a $X_j$, teda číslo $cov(X_i,X_j)$, pre $i,j=1,2,\cdots ,p$, sa nazýva kovariančnou maticou náhodného vektora $𝐗$.

Predchádzajúcu definíciu zapíšeme aj symbolicky. Kovarianciu dvoch prvkov daného náhodného vektora $𝐗$ označíme symbolom ${\mathrm{\Sigma }}_{ij}$, teda:

${\mathrm{\Sigma }}_{ij}=\mathrm{cov}(X_i,X_j)=\mathrm{E}[(X_i-E[X_i])(X_j-E[X_j])]$

Pričom samozrejme zo základných vlastností kovariancie vieme, že platí:

$\mathrm{cov}(X_i,X_i)=\mathrm{var}(X_i)$

Matica bude potom vyzerať nasledovne:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Sigma }& =\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{\Sigma }}_{11}& {\mathrm{\Sigma }}_{12}& \cdots & {\mathrm{\Sigma }}_{1p}\\ \\ {\mathrm{\Sigma }}_{21}& {\mathrm{\Sigma }}_{22}& \cdots & {\mathrm{\Sigma }}_{2p}\\ \\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \\ {\mathrm{\Sigma }}_{p1}& {\mathrm{\Sigma }}_{p2}& \cdots & {\mathrm{\Sigma }}_{pp}\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{E}[(X_1-E[X_1])(X_1-E[X_1])]& \mathrm{E}[(X_1-E[X_1])(X_2-E[X_2])]& \cdots & \mathrm{E}[(X_1-E[X_1])(X_p-E[X_p])]\\ \\ \mathrm{E}[(X_2-E[X_2])(X_1-E[X_1])]& \mathrm{E}[(X_2-E[X_2])(X_2-E[X_2])]& \cdots & \mathrm{E}[(X_2-E[X_2])(X_p-E[X_p])]\\ \\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \\ \mathrm{E}[(X_p-E[X_p])(X_1-E[X_1])]& \mathrm{E}[(X_p-E[X_p])(X_2-E[X_2])]& \cdots & \mathrm{E}[(X_p-E[X_p])(X_p-E[X_p])]\end{array}\right]\\ \end{array}$

Vďaka vyššie spomenutej vlastnosti kovariancie môžeme maticu prepísať aj do tvaru:

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Sigma }& =\left[\begin{array}{cccc}\mathrm{var}\left(X_1\right)& \mathrm{cov}(X_1,X_2)& \cdots & \mathrm{cov}(X_1,X_p)\\ \\ \mathrm{cov}(X_2,X_1)& \mathrm{var}\left(X_2\right)& \cdots & \mathrm{cov}(X_2,X_p)\\ \\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \\ \mathrm{cov}(X_p,X_1)& \mathrm{cov}(X_p,X_2)& \cdots & \mathrm{var}\left(X_p\right)\end{array}\right]\\ \end{array}$

Označenie

Ako vyplýva už z vyššie uvedeného, v prevažnej väčšine literatúry sa používa na označenie kovariančnej matice veľké grécke písmeno sigma $\mathrm{\Sigma }$ (príp. $\mathrm{\Sigma }(𝐗)$) alebo $𝒟(𝐗)$.

Vlastnosti

Kovariančná matica má niekoľko dôležitých vlastností. V definícii môžeme pre zjednodušenie označiť:

$\mathrm{\Sigma }=\mathrm{E}\left[(\mathbf{\text{X}}-\mathrm{E}[\mathbf{\text{X}}]){(\mathbf{\text{X}}-\mathrm{E}[\mathbf{\text{X}}])}^{\mathrm{T}}\right]$

a

$\mu =\mathrm{E}(\mathbf{\text{X}})$

• Kovariančná matica je symetrická a kladne semidefinitná matica, ktorá má na diagonále disperzie náhodných premenných $X_1,\cdots ,X_p$.

• Kovariančnú maticu možno vyjadriť v nasledovnom tvare:

$\mathrm{\Sigma }=\mathrm{E}(𝐗{𝐗}^{\mathrm{T}})-\mathit{\mu }{\mathit{\mu }}^{\mathrm{T}}$

• Majme maticu $𝐀$, ktorá má rozmery $k\times p$ a k-rozmerný náhodný vektor $𝐁$. Potom pre kovariančnú maticu náhodného vektora $𝐘$ definovaného nasledovným vzťahom:

$𝐘=𝐀𝐗+𝐁$

platí, že:

$\mathrm{\Sigma }(𝐘)=𝐀\mathrm{\Sigma }(𝐗){𝐀}^T$

Literatúra

• Šablóna:Citácia knihy
• Šablóna:Citácia knihy
• Šablóna:Citácia elektronického dokumentuŠablóna:Nedostupný zdroj
• Šablóna:Citácia knihy

• Šablóna:Preklad