Kombinačné číslo

Kombinačné číslo (iné názvy: binomické číslo, binomický koeficient)^[1] je matematická funkcia, ktorá udáva počet kombinácií k-tej triedy z n-prvkovej množiny, tzn. počet spôsobov, ako vybrať k-prvkovú podmnožinu z n-prvkovej množiny (k a n sú prirodzené čísla). Kombinačné číslo sa značí v tvare $(\binom{n}{k})$ a číta sa „n nad k“. Alternatívne značenia sú $C (n, k)$ , $C_{k} (n)$ , $_{n} C_{k}$ alebo $C_{n}^{k}$ .^[2]^[3]

S využitím faktoriálu je možné kombinačné číslo definovať nasledovne:^[3]

(\binom{n}{k}) = {\begin{matrix} \frac{n!}{k! (n - k)!} & pre n \geq k \geq 0; \\ 0 & inak \end{matrix}

Platí rovnosť:^[2]

1 = (\binom{0}{0}) = (\binom{n}{0}) = (\binom{n}{n}) .

Kombinačné číslo sa používa hlavne v kombinatorike, veľmi dôležité je využitie v binomickej vete (pričom je tu označované ako binomický koeficient) alebo v Leibnizovom pravidle.

Vlastnosti

Pre prirodzené čísla n a k, kde $0 ≦ k ≦ n$ a $m \in ℕ$ platí^[2]^[3]

(\binom{n}{k}) = (\binom{n}{n - k}),

(\binom{n}{1}) = n,

(\binom{n}{0}) = (\binom{n}{n}) = 1,

(\binom{n}{k + 1}) = (\binom{n}{k}) \frac{n - k}{k + 1},

(\binom{n}{k}) = \frac{n}{k} (\binom{n - 1}{k - 1}),

(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k}),

(\binom{n + 1}{k}) = (\binom{n}{k - 1}) + (\binom{n}{k}),

\sum_{i = k}^{n} (\binom{i}{k}) = (\binom{n + 1}{k + 1}),

\sum_{i = 0}^{n} (\binom{k + i}{i}) = (\binom{k + n + 1}{n}),

\sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) = 2^{n},

\sum_{i = 0}^{n} (- 1)^{i} (\binom{n}{i}) = 0,

\sum_{i = 0}^{n} {(\binom{n}{i})}^{2} = (\binom{2 n}{n})

\sum_{i = 0}^{m} (\binom{n + i}{n}) = (\binom{n + m + 1}{n + 1})

\sum_{i = 0}^{m} (\binom{n + i}{k}) = (\binom{n + m + 1}{k + 1}) - (\binom{n + 1}{k + 1})

\sum_{i = 1}^{n} i = (\binom{n + 1}{2}) = (\binom{n + 1}{n - 1}) = \frac{n}{2} (n + 1)

Zovšeobecnenie kombinačných čísel

Ak definujeme kombinačné číslo ako:^[3]

(\binom{z}{k}) = \frac{z^{\underline{k}}}{k!} = \frac{z (z - 1) (z - 2) \dots (z - k + 1)}{k (k - 1) (k - 2) \dots 1}

kde k je nezáporné celé číslo (a $z^{\underline{k}}$ je k-ty klesajúci faktoriál zo z), potom je zrejmé, že pravá strana má zmysel, aj keď $z$ nebude obmedzené na celé nezáporné čísla. Na $z$ dokonca nemusíme klásť žiadne podmienky, môže ísť aj o číslo komplexné. Vzťah je teda prirodzeným zovšeobecnením kombinačných čísel a je používaný hlavne v zovšeobecnenej binomickej vete.

Ďalšiu možnú definíciu umožňuje náhrada faktoriálu gama funkciou:

(\binom{z}{k}) = \frac{Γ (z + 1)}{Γ (z - k + 1) Γ (k + 1)}

kde z aj k môžu byť komplexné čísla. V takom prípade však nebudú platiť popísané vlastnosti kombinačných čísel pre všetky hodnoty.

Referencie

Šablóna:Referencie

Pozri aj

Iné projekty

Šablóna:Projekt

Externé odkazy

Kombinačné číslo v encyklopédii MathWorld Šablóna:Eng icon
Kalkulátor kombinačného čísla Šablóna:Ces icon

Zdroj

Šablóna:Preklad

↑ kombinačné číslo. In: Šablóna:Citácia elektronického dokumentu
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 Šablóna:Citácia knihy
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 Šablóna:Citácia knihy

[beliana-1] čné číslo. In: Šablóna:Citácia elektronického dokumentu

[skoviera-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 Šablóna:Citácia knihy

[winczer-3] 3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 Šablóna:Citácia knihy

[1]

[2]

[3]

Kombinačné číslo

Obsah

Vlastnosti

Zovšeobecnenie kombinačných čísel

Referencie

Pozri aj

Iné projekty

Externé odkazy

Zdroj

Navigačné menu

Kombinačné číslo

Vlastnosti

Zovšeobecnenie kombinačných čísel

Referencie

Pozri aj

Iné projekty

Externé odkazy

Zdroj

Navigačné menu

Hľadať