Binomická veta

Binomická veta je dôležitá matematická veta, vďaka ktorej môžeme n-tú mocninu dvoch sčítancov rozložiť na výraz súčtov n+1 sčítancov.
Veta vychádza z kombinatoriky.

Znenie vety

Ak je dané ľubovoľné kladné prirodzené číslo n, tak potom pre ľubovoľné reálne a komplexné čísla x a y platí:
${(x+y)}^n=\sum _{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)x^{n-k}{y}^k$
kde $\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)$ je kombinačné číslo, ktoré môžeme vypočítať nasledovným vzorcom: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}$
Tieto kombinačné čísla sa tiež nazývajú binomické koeficienty Pascalovho trojuholníka a číslo n! je faktoriál čísla n.

Iný zápis vyzerá takto:

$(x+y{)}^n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})x^n+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})x^{n-1}y+\dots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^{n-k}{y}^k+\dots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})y^n,$

pričom pre k-ty člen v tomto výraze platí:

$A_k=\left(\begin{array}{c}n\\ k-1\end{array}\right)x^{n-k+1}{y}^{k-1}$

Dôkaz

Použijeme matematickú indukciu.

• Keď n = 0, rovnosť platí:

$(a+b{)}^0=1=\sum _{k=0}^0(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{k})a^{0-k}{b}^k.$

• Pre indukčný krok budeme predpokladať, že veta platí pre exponent m. Potom pre $n=m+1$:

$(a+b{)}^{m+1}=a(a+b{)}^m+b(a+b{)}^m$

z indukčného predpokladu:

$=a\sum _{k=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})a^{m-k}{b}^k+b\sum _{j=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{j})a^{m-j}{b}^j$

násobené číslami $a$ a $b$:

$=\sum _{k=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})a^{m-k+1}{b}^k+\sum _{j=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{j})a^{m-j}{b}^{j+1}$

vyjmutie $k=0$ zo sumy:

$=a^{m+1}+\sum _{k=1}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})a^{m-k+1}{b}^k+\sum _{j=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{j})a^{m-j}{b}^{j+1}$

substitúciou $j=k-1$:

$=a^{m+1}+\sum _{k=1}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})a^{m-k+1}{b}^k+\sum _{k=1}^{m+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k-1})a^{m-k+1}{b}^k$

vyjmutie $k=m+1$ zo sumy:

$=a^{m+1}+\sum _{k=1}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})a^{m-k+1}{b}^k+\sum _{k=1}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k-1})a^{m+1-k}{b}^k+b^{m+1}$

zloženie dvoch súm:

$=a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^m[(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k-1})]a^{m+1-k}{b}^k$

z Pascalovho pravidla:

$=a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{k})a^{m+1-k}{b}^k$

pridaním $m+1$ mocniny do výrazu:

$=\sum _{k=0}^{m+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+1}{k})a^{m+1-k}{b}^k$ .

Q.E.D.

Príklady

Príklady použitia binomickej vety pre n = 2, n = 3 a n = 4:

$(x+y{)}^2=x^2+2xy+y^2$

$(x-y{)}^2=x^2-2xy+y^2$

$(x+y{)}^3=x^3+3x^{2}y+3x{y}^2+y^3$

$(x+y{)}^4=x^4+4x^{3}y+6x^2{y}^2+4x{y}^3+y^4$

Newtonova binomická veta

Binomickú vetu možno zovšeobecniť aj pre prípad, že daný súčet dvoch reálnych (resp. komplexných) čísel je umocňovaný na reálne číslo.
Nech je teda a reálne číslo. Potom pre ľubovoľné reálne a komplexné čísla x a y také, že $|\frac{x}{y}|<1$ platí:
${(x+y)}^a=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\left(\begin{array}{c}a\\ k\end{array}\right)x^k{y}^{a-k}$
kde:

$\left(\begin{array}{c}a\\ 0\end{array}\right)=1$

$\left(\begin{array}{c}a\\ k\end{array}\right)=\frac{a(a-1)(a-2)...(a-k+1)}{k!}$, kde k > 0

Pozri aj

• Binomické rozdelenie
• Pascalov trojuholník
• Kombinatorika
• Multinomická veta