Kolinearita

Body A, B a C sú kolineárne.

Kolinearita je termín používaný v geometrii na označenie situácie, keď dva alebo viac bodov ležia na rovnakej priamke. Overenie, či sú skúmané tri body v karteziánskej sústave súradníc kolineárne alebo nie sa môže vykonať viacerými spôsobmi.

Tento článok pojednáva o skúmaní kolineárnosti bodov v priestore ${ℝ}^2$.

Pomocou lineárnej rovnice

Lineárna rovnica má viacero foriem:

• štandardná forma má tvar $ax+by-c=0$
• forma smernica/priesečník s osou y má tvar $mx+b-y=0$
• forma smernica/bod má tvar $m(x-x_A)+y_A-y=0$
• dvojbodová forma má tvar $\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}(x-x_A)+y_A-y=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}(x-x_B)+y_B-y=0$
• priesečníková forma má tvar $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}-1=0$

V nasledujúcich príkladoch sa budú používať body $A(x_A=-7,y_A=5)$ a $B(x_B=-1,y_B=1)$, ktoré budú definovať priamku a bod $C(x_C=3.5,y_C=-2)$, ktorý sa bude testovať na kolineárnosť s bodmi $A$ a $B$.

Štandardná forma

Štandardná lineárna rovnica je $ax+by=c$ respektíve $ax+by-c=0$ pre $a,b,c\in \mathbb{N}$ kde sa jednotlivé koeficienty, pokiaľ nie sú známe, vypočítajú z karteziánskych súradníc dvoch bodov ležiacich na priamke (pozri exkurz nižšie). Pokiaľ súradnice testovaného bodu vyhovujú tejto rovnici je kolineárny. Tento spôsob je vhodný aj pre priamky rovnobežné s osou $y$, ktorých smernica nie je definovaná.

Pre vyššie uvedené body $A$ a $B$ má štandardná rovnica tvar

$-4x-6y=-2$.

Po dosadení súradníc testovaného bodu $C$

$\begin{array}{cc}-4\times 3.5-6\times (-2)& =-2\\ -14+12& =-2\\ -2& =-2\\ \end{array}$

Exkurz: Koeficienty štandardnej formy lineárnej rovnice sa z karteziánskych súradníc dvoch bodov vypočítajú nasledovne:

$\begin{array}{cc}a& =y_B-y_A\\ b& =-(x_B-x_A)=x_A-x_B\\ c& =x_A{y}_B-x_B{y}_A\\ \end{array}$.

Po dosadení:

$\begin{array}{cc}a& =1-5=-4\\ b& =-(-1-(-7))=-6\text{ alebo }-7-(-1)=-6\\ c& =-7\times 1-(-1)\times 5=-7-(-5)=-2\\ \end{array}$.

Štandardná forma $ax+by=c$ teda bude:

$-4x-6y=-2$

Skúška pre bod $A(-7,5)$:

$\begin{array}{cc}-4\times (-7)-6\times 5& =-2\\ 28-30& =-2\\ -2& =-2\\ \end{array}$

Skúška pre bod $B(-1,1)$:

$\begin{array}{cc}-4\times (-1)-6\times 1& =-2\\ 4-6& =-2\\ -2& =-2\\ \end{array}$.

Po dosadení súradníc bodu $C$ do štandardnej lineárne rovnice sú si obe strany rovnice rovné a teda bod $C$ je kolineárny s bodmi $A$ a $B$. Týmto spôsobom je možné testovať na kolineárnosť neobmedzený počet bodov.

Koniec exkurzu.

Forma smernica/priesečník s osou y

Ak sú definované v karteziánskej sústave dva body $A(x_A,y_A)$ a $B(x_B,y_B)$ určí sa z nich lineárna funkcia $y=mx+k$, kde $m$ je smernica priamky a $k$ je absolútny člen rovnice s hodnotou, na ktorej priamka pretína osu $y$. Smernica sa vypočíta podľa rovnice

$m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$

a absolútny člen podľa rovnice

$k=y-mx$,

do ktorej je možné dosadiť súradnice buď bodu $A$ alebo bodu $B$. Samotné testovanie kolineárnosti spočíva v tom, že súradnice testovaného bodu sa dosadia do lineárnej rovnice, ktorej smernica a absolútna hodnota sú už známe a zistí sa či sú obe strany rovnaké. V takom prípade je testovaný bod kolineárny s dvojicou bodov, z ktorých sa daná smernica a absolútny člen vypočítali. Tento spôsob nie je možný použiť na priamky rovnobežné s osou $y$ pretože pre také priamky nie je definovaná smernica.

Príklad.

Sú definované body $A(-7,5)$ a $B(-1,1)$, z ktorých sa vypočíta $m$ a $k$:

$m=\frac{1-5}{-1-(-7)}=\frac{-4}{6}=-0.\dot{6}$

$k=\stackrel{\text{podľa }A(-7,5)}{\overbrace{5-(-0.\dot{6})\times (-7)}}=5-4.\dot{6}=0.\dot{3}$

$k=\stackrel{\text{podľa }B(-1,1)}{\overbrace{1-(-0.\dot{6})\times (-1)}}=1-0.\dot{6}=0.\dot{3}$.

Ďalej je definovaný bod $C(3.5,-2)$, ktorého kolinearita s bodmi $A$ a $B$ sa skúma pomocou lineárnej funkcie.

$-2=-0.\dot{6}\times 3.5+0.\dot{3}=-2.\dot{3}+0.\dot{3}=-2$

Po dosadení súradníc bodu $C$ do rovnice sú si obe strany rovné a teda bod $C$ je kolineárny s bodmi $A$ a $B$. Týmto spôsobom je možné testovať na kolineárnosť neobmedzený počet bodov.

Forma smernica/bod

Z dvojice bodov $A$ a $B$ sa vypočíta smernica priamky $m$, na ktorej ležia (pozri forma smernice/priesečník s osou y). V samotnej rovnici sa pri testovaní kolineárnosti s bodom $C$ použijú súradnice jedného z bodov $A$ a $B$. Nakoľko táto forma rovnice obsahuje smernicu nie je možné ju použiť pre priamky rovnobežné s osou $y$. Platia teda ekvivalentné rovnice

$m(x_C-x_A)+y_A-x_C=0$

alebo

$m(x_C-x_B)+y_B-x_C=0$

Príklad.

$\begin{array}{cc}\stackrel{\text{Podľa }A(-7,5)}{\overbrace{-0.\dot{6}(3.5-(-7))+5-(-2)}}& =0\\ -0.\dot{6}\times 10.5+7& =0\\ -6.\dot{9}+7& =0\\ 0& =0\\ \end{array}$

$\begin{array}{cc}\stackrel{\text{Podľa }B(-1,1)}{\overbrace{-0.\dot{6}(3.5-(-1))+1-(-2)}}& =0\\ -0.\dot{6}\times 4.5+3& =0\\ -2.\dot{9}+3& =0\\ 0& =0\\ \end{array}$.

Dvojbodová forma

Jedná sa o formu lineárnej rovnice ako pri forme smernica/bod s tým, že namiesto premennej $m$ s hodnotou smernice priamky sa vkladá namiesto nej samotný vzorec pre výpočet smernice priamky. Tento spôsob nie je možné použiť pre situácie s priamkou rovnobežnou s osou $y$.

Priesečníková forma

Pre tento spôsob, ako napovedá názov, je nutné poznať priesečníky $a$ (na ose $x$) a $b$ (na ose $y$) priamky s hlavnými osami karteziánskej sústavy súradníc $x$ a $y$. Pre výpočet priesečníkov pozri exkurz nižšie. Do takejto lineárnej rovnice sa dosadia len súradnice testovaného bodu $C$.

$\begin{array}{cc}\frac{x_C}{a}+\frac{y_C}{b}-1& =0\\ \frac{3.5}{0.5}+\frac{-2}{0.\dot{3}}-1& =0\\ 7+(-6)-1& =0\\ 0& =0\\ \end{array}$.

Exkurz: Priesečníky priamky s hlavnými osami karteziánskej sústavy súradníc $x$ a $y$. Pre ich výpočet je možné napríklad použiť lineárnu rovnicu $y=mx+k$ (forma smernica/priesečník s osou $y$) kde $k$ je priesečník s osou $y$. Pre výpočet smernice a priesečníku pozri odstavec týkajúci sa formy smernica/priesečník s osou $y$. Priesečník s osou $x$ (teda x-ovú súradnicu) nájdeme vyriešením upravenej lineárnej rovnice pre $y=0$

$x=\frac{y-k}{m}$.

Z predchádzajúcich príkladov je známe, že

$m=-0,\dot{6}$

a

$k=(b)=0.\dot{3}$.

Po dosadení do upravenej lineárnej rovnice získame

$a=\frac{0-0.\dot{3}}{-0.\dot{6}}=\frac{-0.\dot{3}}{-0.\dot{6}}=0.5$.

Súradnice priesečníkov sú $P_y(0,b)=(0,0.\dot{3})$ na ose $y$ a $P_x(a,0)=(0.5,0)$ na ose $x$.

Koniec exkurzu.

Pomocou determinantu matice

Ak sa dosadia súradnice bodov $A(x_A,y_A)$, $B(x_B,y_B)$ a $C(x_C,y_C)$ do matice s rozmermi $3\times 3$ ako je uvedené nižšie a vypočíta sa determinant tejto matice, tak potom v prípade, že sa tento determinant rovná nule sú body $A$, $B$ a $C$ kolineárne.

$\text{det}\left(\left[\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\\ x_3& y_3& 1\end{array}\right]\right)=0$

Pomocou obsahu trojuholníka

K trom bodom $A(x_A,y_A)$, $B(x_B,y_B)$ a $C(x_C,y_C)$, u ktorých sa má zistiť či sú alebo nie sú kolineárne, je možné pristupovať ako k vrcholom trojuholníka $ABC$, ktorého obsah sa vypočíta podľa vzorca:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}|(x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B))|$.

Ak platí $S_{ABC}=0$ tak body $A$, $B$ a $C$ sú kolineárne.

Pomocou vzájomnej vzdialenosti bodov

Pokiaľ sa vypočítajú vzájomné vzdialenosti medzi troma skúmanými bodmi, tak v prípade, že sú kolineárne, sa najdlhšia vzdialenosť musí rovnať súčtu dvoch ostatných. Vzdialenosť $d$ dvoch bodov $P_1(x_1,y_1)$ a $P_2(x_2,y_2)$ v karteziánskej sústave súradníc sa vypočíta podľa

$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$.

Pomocou euklidovskej konštrukcie

Euklidovská konštrukcia pre kolinearitu bodu C s bodmi A a B.

Jedna z mnohých euklidovských konštrukcií na testovanie kolinearity bodu $C$ a bodmi $A$ a $B$ môže vyzerať napríklad nasledovne.

Krok 1: Zostrojenie priamky $p$ prechádzajúcej bodmi $A$ a $B$.

Krok 2: Zostrojenie kružnice $a$ so stredom v bode $A$ s polomerom $r_A$, pre ktorý platí nerovnosť $\frac{1}{2}|AB|<r_A<|AB|$.

Krok 3: Analogicky ako v kroku 2 pre kružnicu $b$, čím vznikne prienik dvoch kružníc v dvoch bodoch $P$ a $Q$ (preto je nutná nerovnica polomerov, aby nedošlo k situácii, že sa kružnice nebudú dotýkať alebo sa budú dotýkať len v jednom bode).

Krok 4: Zostrojenie kružnice $c$ so stredom v testovanom bode $C$, ktorá prechádza bodom $P$. Ak prechádza aj bodom $Q$ je bod $C$ kolineárny s bodmi $A$ a $B$.

Alebo.

Krok 4: Zostrojenie kružnice $c$ so stredom v testovanom bode $C$, ktorá prechádza bodom $Q$ . Ak prechádza aj bodom $P$ je bod $C$ kolineárny s bodmi $A$ a $B$.

V prípade kolinearity tvoria body $C$, $P$ a $Q$ rovnoramenný trojuholník s ramenami $C$$P$ a $C$$Q$ , ktoré sú polomermi kružnice $c$.