Cayleyho-Hamiltonova veta

Cayleyho-Hamiltonova veta (pomenovaná podľa Arthura Cayleyho a Williama Rowana Hamiltona) je v lineárnej algebre veta, ktorá hovorí, že každá štvorcová matica je koreňom svojho charakteristického polynómu, teda platí:

${\chi }_A\left(A\right)=0.$

Pomocné pojmy

Definujme pojem mocniny štvorcovej matice $A$ ($A\in M_{n,n}$) nasledovne:

$A^0=I_n$, kde $I_n$ je jednotková matica z $M_{n,n}$

Indukčne definujme: $A^{n+1}=A^n\cdot A$

Charakteristický polynóm ${\chi }_A(t)$ je definovaný pre ľubovoľnú $A\in M_{n,n}$ nasledovne: ${\chi }_A(t)=\det (t{I}_n-A)$, kde $\lambda$ je jeho koreňom práve vtedy, ak je vlastnou hodnotou $A$.

Formulácia vety

Nech $A$ je štvorcová matica a jej charakteristický polynóm ${\chi }_A(t)=\sum _{i=0}^n{a}_i{t}^i$, pre vhodné koeficienty $a_i$. Potom $\sum _{i=0}^n{a}_i{A}^i=\left(\begin{array}{ccc}0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0\end{array}\right)$

Neformálne: ${\chi }_A(A)=0$.

Využitie

Najdôležitejším dôsledkom Cayleyho-Hamiltonovej vety je, že charakteristický polynóm je násobkom minimálneho polynómu danej štvorcovej matice $A$.

Externé odkazy

• dôkaz z PlanetMath (angl.)

Literatúra

• Šablóna:Citácia knihy