Matematická indukcia

Matematická indukcia je metóda dokazovania matematických viet a tvrdení, ktorá sa používa, ak chceme ukázať, že dané tvrdenie platí pre všetky prirodzené čísla, prípadne inú, dopredu danú nekonečnú postupnosť.

Typický dôkaz indukciou sa skladá z dvoch krokov:

1. Báza: Ukážeme, že tvrdenie platí pre najmenšie číslo z postupnosti.
2. Indukčný krok: Ukážeme, že ak tvrdenie platí pre n = m, tak platí aj pre n = m + 1 (Časť nasledujúca bezprostredne po ak sa niekedy nazýva indukčný predpoklad).

Tento postup sa niekedy prirovnáva k dominu. Obidve tieto časti sú totiž podobné dominovému efektu:

1. Spadne prvá kocka domina
2. Ak spadne nejaká kocka domina, spadne aj jej najbližší sused.

Výsledkom potom je, že spadnú všetky kocky.

Príklad

Majme nasledujúce tvrdenie:

$0+1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$

pre všetky prirodzené čísla n. Dôkaz pravdivosti tohto tvrdenia je uvedený v nasledujúcej podkapitole.

Dôkaz

Báza:

Najskôr skontrolujeme, či toto tvrdenie platí pre n = 0. Zrejme áno, pretože súčet prvých 0 prirodzených čísel je 0 a 0(0 + 1)/2=0.

Indukčný krok:

Teraz chceme ukázať, že pokiaľ toto tvrdenie platí pre n = m, platí aj pre n = m + 1.

Predpokladajme teda, že pre n = m tvrdenie platí, čiže

$0+1+2+\cdots +m=\frac{m(m+1)}{2}$

Pridaním m + 1 k obidvom stranám rovnice dostaneme

$1+2+\cdots +m+(m+1)=\frac{m(m+1)}{2}+(m+1)$

čo sa rovná

$=\frac{m(m+1)}{2}+\frac{2(m+1)}{2}=\frac{(m+2)(m+1)}{2}$

a máme teda

$1+2+\cdots +(m+1)=\frac{(m+1)((m+1)+1)}{2}$

Toto je tvrdenie pre n = m + 1. Dokázali sme, že je pravdivé, pokiaľ je pravdivé tvrdenie pre n = m.

Tvrdenie teda platí pre všetky prirodzené čísla, pretože

1. Platí pre 0.
2. Ak platí pre 0, platí aj pre 1
3. Ak platí pre 1, platí aj pre 2
4. Ak platí pre 2, platí aj pre 3
5. ...

Všetky kone majú rovnakú farbu

Všetky kone majú rovnakú farbu je paradox, ktorý vznikne z nesprávneho použitia matematickej indukcie. Bol predstavený maďarským matematikom George Pólya. Ukazuje na chyby, čo môžu nastať pri dôkazoch matematickou indukciou.

Argument

Chceme dokázať, že všetky kone majú rovnakú farbu.

Báza:

Pre $n=1$ to zjavne platí. Ak máme v skupine jedného koňa, tak má celá skupina rovnakú farbu a to farbu toho jedného koňa.

Indukčný krok:

Predpokladáme, že výrok platí pre $n$ koní a chceme ho dokázať pre $n+1$ koní. Kone si očíslujeme $1,2,3,...,n+1$, kde farba i-teho koňa je $f_i$. Pozrieme sa na farbu prvých $n$ koní $f_1,f_2,...,f_n$. Podľa indukčného predpokladu môžeme usúdiť, že sú všetky rovnakej farby. Teraz sa pozrieme na farbu koní $f_2,f_3,f_4,...,f_{n+1}$. Tých koní je $n$, takže znova použijeme indukčný predpoklad a môžeme povedať, že aj tie sú všetky rovnakej farby. Keďže vieme, že $f_1=f_2=f_3...=f_n$ a zároveň aj $f_2=f_3=f_4=...=f_{n+1}$, môžeme povedať, že $f_1=f_{n+1}$. Teraz sme dokázali, že ak výrok platí pre $n$ tak platí pre $n+1$.

Výrok platí pre $n=1$.

Výrok platí pre všetky kladné celé čísla.

Každá podmnožina koní má navzájom rovnakú farbu.

Koní je konečný počet.

Všetky kone majú rovnakú farbu.

Vysvetlenie

V indukčnom kroku (od $n$ do $n+1$) sa predpokladá, že $n\ge 2$. Indukcia by platila iba keby bola báza dokázaná pre $n\ge 2$.

Externé odkazy

• Dôkaz matematickou indukciou na pohodovamatematika.sk