Bornova rovnica

Bornova rovnica je rovnica, ktorý opisuje príspevok elektrostatického pôsobenia rozpúšťadla ku Gibbsovej voľnej energii počas solvatácie iónu. Ide o elektrostatický model, ktorý pokladá rozpúšťadlo (solvent) za spojité dielektrické prostredie, takže tento model patrí medzi metódy spojitej solvatácie.

Rovnica je nasledovná:

$\mathrm{\Delta }G=-\frac{N_A{z}^2{e}^2}{8\pi {\epsilon }_0{r}_0}(1-\frac{1}{{\epsilon }_r})$

kde:

• N_A = Avogadrova konštanta
• z = náboj iónu
• e = elementárny náboj
• ε₀ = permitivita vákua
• r₀ = efektívny polomer iónu
• ε_r = dielektrická konštanta rozpúšťadla

V atómových jednotkách možno túto rovnicu pre jednoatómový ión zapísať ako:

$\mathrm{\Delta }G=-\frac{1}{2}\frac{q^2}{a}(1-\frac{1}{\epsilon })$

kde:

• ε = dielektrická konštanta rozpúšťadla
• q = náboj iónu
• a = polomer iónu

Túto rovnicu odvodil Max Born.

Odvodenie

Potenciálna energia uložená v elektrostatickom poli v danom objeme je rovná:

$U=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{\epsilon }_r\int |𝐄{|}^{2}dV$

Veľkosť elektrického poľa, $|𝐄|$, vo vzdialenosti $r$ od iónu (s nábojom $ze$ a polomerom $r_i$) v prostredí s dielektrickou konštantou $\epsilon ={\epsilon }_0{\epsilon }_r$ je:

$|𝐄|=\frac{ze}{4\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_r{r}^2}$

Objemovú zmenu $dV$ možno zapísať ako:

$dV=4\pi r^{2}dr$

Vďaka tomu možno energiu $U$ vyjadriť v podobe:

$U=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{\epsilon }_r\underset{r_i}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\left(\frac{ze}{4\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_r{r}^2}\right)}^{2}4\pi r^{2}dr=\frac{z^2{e}^2}{8\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_r{r}_i}$

Energia solvatácie (jedného) iónu z plynnej fázy (${\epsilon }_r$ = 1) do prostredia s permitivitou ${\epsilon }_r$ je potom

$\frac{\mathrm{\Delta }G}{N_A}=U({\epsilon }_r)-U({\epsilon }_r=1)=-\frac{z^2{e}^2}{8\pi {\epsilon }_0{r}_i}(1-\frac{1}{{\epsilon }_r})$