Banachova veta o pevnom bode

Banachova veta o pevnom bode, pomenovaná podľa Stefana Banacha a známa aj ako veta o kontrakcii, je veta matematickej analýzy, ktorá hovorí, že pre každé kontraktívne zobrazenie v úplnom metrickom priestore existuje práve jeden pevný bod.

Definície

Pevný bod

Nech $f:X\to X$ je zobrazenie. Bod $x\in X$ nazveme pevným bodom zobrazenia f, ak $f(x)=x$.

Kontraktívne zobrazenie

Nech $(X,d)$ je metrický priestor, nech $A\subseteq X$. Nech $f:A\to A$ je zobrazenie. Zobrazenie f nazývame kontraktívne zobrazenie alebo kontrakcia, ak existuje reálna konštanta L, $0<L<1$ taká, že pre všetky $x_1,x_2\in A$ platí

$d(f(x_1),f(x_2))\le L\cdot d(x_1,x_2).$

Inými slovami, zobrazenie f je kontraktívne vtedy a len vtedy, keď spĺňa Lipschitzovu podmienku pre $0<L<1$.

Znenie vety

Nech $(X,d)$ je úplný metrický priestor. Nech $f:X\to X$ je kontraktívne zobrazenie. Potom f má práve jeden pevný bod $u=f(u)$. Navyše, pre každé $x\in X$ platí $f^n(x)\to u$ pre $n\to \mathrm{\infty }$ (symbol $f^n$ označuje n-tú iteráciu zobrazenia f), pričom pre rýchlosť konvergencie platí $d(u,f^n(x))\le L^n\cdot d(u,x)$.

Dôkaz

Existencia pevného bodu

Z kontraktívnosti zobrazenia f možno matematickou indukciou dokázať, že platí

$d(f^n(x),f^{n+1}(x))\le L^n\cdot d(x,f(x)).$

Z toho vyplýva, že pre všetky prirodzené čísla n,k platí

$d(f^n(x),f^{n+k}(x))\le \sum _{i=n}^{n+k-1}d(f^{n+i}(x),f^{n+i+1}(x))\le \sum _{i=n}^{n+k-1}{L}^i\cdot d(x,f(x))\le \sum _{i=n}^{\mathrm{\infty }}{L}^i\cdot d(x,f(x))=\frac{L^n}{1-L}\cdot d(x,f(x)).$

Keďže

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{L^n}{1-L}\cdot d(x,f(x))=0,$

je postupnosť $\{f^n(x){\}}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$ fundamentálna. Z úplnosti metrického priestoru $(X,d)$ potom plynie, že existuje limita tejto postupnosti. Označme túto limitu u. Potom platí

$f(u)=f(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}^n(x))=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}^{n+1}(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}^n(x)=u,$

čiže u je pevný bod zobrazenia f.

Jednoznačnosť pevného bodu

Sporom. Nech $u\ne v$ sú dva rôzne pevné body zobrazenia f. Z kontraktívnosti zobrazenia f:

$0<d(u,v)=d(f(u),f(v))\le L\cdot d(u,v)<d(u,v),$

z čoho $d(u,v)<d(u,v)$, čo je spor.

Rýchlosť konvergencie

Tvrdenie

$d(u,f^n(x))\le L^n\cdot d(u,x)$

dokážeme matematickou indukciou:

1. Nech $n=1$. Potom z kontraktívnosti f:

   $d(u,f^n(x))=d(u,f(x))=d(f(u),f(x))\le L\cdot d(u,x)=L^n\cdot d(u,x).$

2. Nech tvrdenie platí pre $n=k$. Ukážeme, že platí aj pre $n=k+1$:

   $d(u,f^{k+1}(x))=d(f(u),f^{k+1}(x))\le L\cdot d(u,f^k(x))\le L\cdot L^k\cdot d(u,x)=L^{k+1}\cdot d(u,x).$

Aplikácie

K štandardným aplikáciam Banachovej vety o pevnom bode patria dôkazy niektorých viet o existencii riešení diferenciálnych a integrálnych rovníc, či numerické metódy hľadania koreňov nelineárnych rovníc. Využíva sa však aj vo viacerých ďalších oblastiach, napríklad vo finančnej matematike, či v teórii fraktálov.

Literatúra

• Agrawal, R. P., Meehan, M., O'Regan, D.: Fixed Point Theory and Applications. Cambridge University Press, 2004.
• Švec, M., Šalát, T., Neubrunn, T.: Matematická analýza funkcií reálnej premennej. Alfa, 1987.

Externé odkazy

• Dôkaz Banachovej vety o pevnom bode Šablóna:Webarchive na Bourbawiki Šablóna:Eng icon.
• Banach Fixed Point TheoremŠablóna:Nedostupný zdroj Šablóna:Eng icon.
• Článok o Banachovej vete o pevnom bode na PlanetMath Šablóna:Eng icon.