Integrálna rovnica

Integrálna rovnica je v matematike rovnica, v ktorej sa neznáma funkcia nachádza pod integrálom. Integrálne rovnice úzko súvisia s diferenciálnymi rovnicami a niektoré problémy môžu byť formulované oboma spôsobmi (napr. Maxwellove rovnice).

Za zakladateľa teórie integrálnych rovníc sa považuje Erik Ivar Fredholm, neskôr k nej významne prispel Vito Volterra.

Klasifikácia integrálnych rovníc

Integrálne rovnice možno rozdeliť na dve základné triedy: Fredholmove integrálne rovnice a Volterrove integrálne rovnice. Pri Fredholmových rovniciach má interval integrácie konštantné hranice, pri Volterrových rovniciach je jedna z hraníc funkciou premennej x.

Ďalšie delenie je na rovnice prvého a druhého druhu. V rovniciach prvého druhu sa neznáma funkcia nachádza len pod integrálom, v rovniciach druhého druhu sa nachádza pod integrálom aj mimo integrálu.

Fredholmove rovnice prvého druhu

Najzákladnejším typom integrálnych rovníc sú Fredholmove rovnice prvého druhu. Sú to integrálne rovnice tvaru

$f(x)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}K(x,t)\phi (t)dt,$

kde $\phi$ je neznáma funkcia, f je známa funkcia a K je ďalšia funkcia o dvoch premenných, často nazývaná aj jadrová funkcia. Rozsah integrácie má konštantné hranice.

Fredholmove rovnice druhého druhu

Fredholmove rovnice druhého druhu sú rovnice s konštantným rozsahom integrácie a s neznámou funkciou nachádzajúcou sa ako v integrande, tak aj mimo neho. Sú to integrálne rovnice tvaru

$\phi (x)=f(x)+\lambda \underset{a}{\overset{b}{\int }}K(x,t)\phi (t)dt.$

Číslo $\lambda$ je neznámy parameter, ktorý zohráva rovnakú úlohu ako vlastné číslo v lineárnej algebre. Význam ostatných symbolov je rovnaký, ako pri rovniciach prvého druhu.

Volterrove rovnice prvého druhu

Volterrove rovnice prvého druhu sú zovšeobecnením Fredholmových rovníc prvého druhu, v ktorom je jedna z hraníc integračného rozsahu funkciou premennej x. Volterrove rovnice prvého druhu majú tvar:

$f(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}K(x,t)\phi (t)dt.$

Volterrove rovnice druhého druhu

Volterrove rovnice druhého druhu sú zovšeobecnením Fredholmových rovníc druhého druhu. Jedna z hraníc integračného rozsahu je funkciou premennej x. Rovnice tohto typu majú tvar:

$\phi (x)=f(x)+\lambda \underset{a}{\overset{x}{\int }}K(x,t)\phi (t)dt.$

Pozri aj

• Diferenciálna rovnica

Zdroj

• Motivační základy k teorii integrálních rovníc