Χ²-rozdelenie

${\chi }^2$-rozdelenie (iné názvy: ${\chi }^2$-rozdelenie pravdepodobnosti, chí-kvadrát rozdelenie (pravdepodobnosti), rozdelenie (pravdepodobnosti) ${\chi }^2$, rozdelenie (pravdepodobnosti) chí-kvadrát, rozdelenie (pravdepodobnosti) štvorca chí, Helmertovo-Pearsonovo rozdelenie (pravdepodobnosti)) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike rozdelenie pravdepodobnosti. Je to špeciálny prípad gama rozdelenia.

${\chi }^2$ rozdelenie má v matematickej štatistike veľmi významné postavenie a využitie. Najčastejšie sa používa pri určovaní odhadov a intervalových odhadov neznámych parametrov a pri testovaní štatistických hypotéz. Pri tomto testovaní sa využívajú kritické hodnoty ${\chi }^2$-rozdelenia, ktoré sú tabelované a na základe nich vieme testovanú štatistickú hypotézu prijať alebo zamietnuť.

Definícia

Nech $X$ je náhodná premenná a nech $n$ je prirodzené číslo. Hovoríme, že náhodná premenná $X$ má ${\chi }^2$-rozdelenie s $n$ stupňami voľnosti, ak jej hustota pravdepodobnosti má nasledovný tvar:

$f_n(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2})}{x}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{x}{2}}& \mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}x>0\\ 0& \mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}x\le 0\end{array}$

kde označenie $\mathrm{\Gamma }(\alpha )$ označuje gama funkciu (ktorá sa tiež nazýva aj Eulerov integrál druhého druhu) a je definovaná nasledovne:

$\mathrm{\Gamma }(\alpha )=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}{x}^{\alpha -1}\mathrm{d}x$

Označenie:

• $\mathrm{X}\sim {\chi }^2(n)$
• $\mathrm{X}\sim {\chi }_n^2$

Ďalšie vyjadrenia a vzťahy

Pokiaľ máme náhodnú premennú $X$, ktorá má normované normálne rozdelenie, teda $X\sim N(0,1)$, tak náhodná premenná $Y=X^2$ má ${\chi }^2$-rozdelenie s 1 stupňom voľnosti, teda $Y\sim {\chi }^2(1)$.

Toto tvrdenie platí analogicky aj pokiaľ máme $k$ nezávislých náhodných premenných $X_1,...,X_k$, pričom každá z týchto premenných má normované normálne rozdelenie, teda $X_j\sim N(0,1)$ pre $j=1,...,k$. Potom nasledovná náhodná premenná:

$X=\sum _{j=1}^k{X}_j^2$

má ${\chi }^2$-rozdelenie s $k$ stupňami voľnosti, teda $X\sim {\chi }^2(k)$.

Vlastnosti

Začiatočné momenty tohto rozdelenia môžeme vyjadriť pomocou všeobecného vzťahu nasledovne:

${\mu }_r=\frac{2^r\mathrm{\Gamma }(r+\frac{n}{2})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2})}$

Teda z tohto vzťahu dostaneme nasledovné vyjadrenia pre strednú hodnotu a disperziu premennej $X$:

• $\mathrm{E}(X)=n$
• $\mathrm{D}(X)=2n$

Koeficient šikmosti má nasledovné vyjadrenie:

${\gamma }_1=\frac{2}{\sqrt{\frac{n}{2}}}$

Pre koeficient špicatosti dostaneme:

${\gamma }_2=\frac{12}{n}$

Distribučná funkcia tohto rozdelenia má nasledovný tvar:

$F_X(x)=\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2})}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{t}{2}}\mathrm{d}t$

Graf hustoty tohto rozdelenia je pre malé hodnoty parametra $n$ nesymetrický, no pre veľké hodnoty tohto parametra je hustota premennej tvaru:

$\frac{X-E(X)}{\sqrt{D(X)}}=\frac{X-n}{\sqrt{2n}}$

čoraz viac symetrickejšia a pre hodnoty parametra $n$ väčšie ako 30 ju môžeme aproximovať hustotou normálneho normovaného rozdelenia N(0, 1).

Kritické hodnoty

Kritické hodnoty sa využívajú pri testovaní štatistických hypotéz a pre toto rozdelenie sú tabelované. Kritickú hodnotu môžeme zadefinovať nasledovne:

Nech $X$ je náhodná premenná s ${\chi }^2$ rozdelením s $n$ stupňami voľnosti. Potom hodnoty ${\mathrm{\chi }}^2(n,\alpha )$, ktoré náhodná premenná $X$ presiahne so zvolenou pravdepodobnosťou $\alpha$ nazývame kritické hodnoty ${\chi }^2$-rozdelenia. Matematicky zapísané:

$P(X>{\chi }^2(n,\alpha ))=\underset{{\chi }^2(n,\alpha )}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_n(x)\mathrm{d}x=\alpha$

Zdroje

• Šablóna:Citácia knihy
• Šablóna:Citácia knihy
• Šablóna:Citácia knihy
• Šablóna:Citácia knihy
• Šablóna:Citácia knihy
• Šablóna:Citácia knihy