Pauliho matice

Pauliho matice tvoria množinu troch komplexných hermitovských a unitárnych matíc o dvoch riadkoch a dvoch stĺpcoch. Zvyknú sa označovať gréckym písmenom 'sigma' (σ). V súvislosti s izospinom je obvyklé používať grécke písmeno 'tau' (τ). Píšeme ich v nasledujúcom tvare:

${\sigma }_1={\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

${\sigma }_2={\sigma }_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)$

${\sigma }_3={\sigma }_z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

Algebrické vlastnosti

Platia nasledujúce dôležité vzťahy:

${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2={\sigma }_3^2=-i{\sigma }_1{\sigma }_2{\sigma }_3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I$

pričom symbolom I označujeme jednotkovú maticu o dvoch stĺpcoch a dvoch riadkoch.

Determinanty a stopy spĺňajú tieto vzťahy:

$\begin{array}{cccc}\det ({\sigma }_i)& =& -1& \\ \mathrm{Tr}({\sigma }_i)& =& 0& \text{for}i=1,2,3.\end{array}$

Z hora uvedených vlastností priamo plynie, že vlastné hodnoty každej a jednej pauliho matice σ_i sú ±1.

Komutačné relácie

Pauliho matice splňujú nasledujúce komutačné relácie:

$[{\sigma }_i,{\sigma }_j]=2i{\epsilon }_{ijk}{\sigma }_k$

Taktiež vyhovujú antikomutačným reláciam:

$\{{\sigma }_i,{\sigma }_j\}=2{\delta }_{ij}\cdot I$