Stopa matice

Stopa matice alebo diagonálny súčet alebo sled je v lineárnej algebre súčet členov na hlavnej diagonále matice. Matica musí byť štvorcová, musí mať teda n stĺpcov a n riadkov.

Značenie

Stopu matice $𝐀$ o jednotlivých prvkoch ${𝐚}_{ij}$ môžeme označiť týmito ekvivalentnými spôsobmi:

$\mathrm{T}\mathrm{r}𝐀=\mathrm{S}\mathrm{p}𝐀=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}$

Definícia

Majme štvorcovú maticu $𝐀$ nad poľom $𝐊$ s členmi:

$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)$

stopu tejto matice definujeme nasledujúcim predpisom:

$\mathrm{Tr}(A)=\sum _{j=1}^n{a}_{jj}=a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}\in K$.

Vlastnosti

Majme štvorcové matice $𝐀$, $𝐁$ a $𝐂$ nad poľom $𝐊$ o rovnakom rozmere $𝐧$×$𝐧$. Potom platia nasledujúce vlastnosti:

• Stopa reálnej alebo komplexnej matice je rovná sume jej vlastných hodnôt (zarátaných s danou násobnosťou). V charakteristickom polynóme vystupuje ako druhý koeficient. Má preto podobný význam ako determinant, ktorý je rovný súčinu vlastných hodnôt (umocnených s danou násobnosťou).

• Stopa je lineárne zobrazenie ($𝐫$ a $𝐬$ patria poľu $𝐊$), to znamená:

$\mathrm{Tr}(rA+sB)=r\cdot \mathrm{T}\mathrm{r}(A)+s\cdot \mathrm{T}\mathrm{r}(B)$.

• Stopa súčinu matíc je invariantná voči cyklickej zámene (permutácii matíc:

$\mathrm{T}\mathrm{r}(𝐀\cdot 𝐁\cdot 𝐂)=\mathrm{T}\mathrm{r}(𝐂\cdot 𝐀\cdot 𝐁)$

• Z predošlej vlastnosti plynie, že stopa je invariantná voči transformáciam báze pomocou nesingulárnej matice $𝐁$:

$\mathrm{Tr}(B^{-1}\cdot A\cdot B)=\mathrm{T}\mathrm{r}(A)$.

• Pre všetky reálne alebo komplexné matice rozmeru $n\times n$ platí:

$\det (\exp \left(A\right))=\exp (\mathrm{Tr}\left(A\right))$

• Pre transponovanú maticu ${𝐀}^T$ platí:

$\mathrm{T}\mathrm{r}{𝐀}^T=\mathrm{T}\mathrm{r}𝐀$