Lineárne zobrazenie

Lineárne zobrazenie je v algebre matematické zobrazenie, priraďujúce ľubovoľnému vektoru (vzoru) z vektorového priestoru nový vektor (obraz) z iného alebo rovnakého vektorového priestoru, zachovávajúc operácie vektorového súčtu a skalárneho násobku.Šablóna:Rp V prípade zobrazenia nad rovnakým vektorovým priestorom sa operácia nazýva aj lineárna transformácia alebo lineárny operátor.Šablóna:Rp

Každé lineárne zobrazenie možno určiť maticou zobrazenia. Pod pojmom lineárne zobrazenie sa však nechápe len zobrazovanie vektorov, reprezentujúcich súradnice v priestore, ale aj zobrazovanie mnohých iných abstraktných vektorov, napríklad polynómov. Príkladom jednoduchšieho lineárneho zobrazenia môže byť také, ktoré ku každému vektoru priradí jeho dvojnásobok. Oveľa abstraktnejším lineárnym zobrazením je také, ktoré k polynómu priradí jeho deriváciu. Pre názornú predstavu však pomáha obmedzenie na vektorové priestory ${ℝ}^2$ prípadne ${ℝ}^3$.

Formálna definícia

Nech $N,M$ sú vektorové priestory nad telesom $K$. Zobrazenie $\phi :N\to M$ sa nazýva lineárne zobrazenie, ak $\phi$ zachováva operácie vektorového súčtu a skalárneho násobku, t. j. ak je splnené nasledovné: Šablóna:Rp

$\begin{array}{cc}(\text{i})& \phi (𝐱+𝐲)=\phi (𝐱)+\phi (𝐲)\\ (\text{ii})& \phi (\alpha \cdot 𝐱)=\alpha \cdot \phi (𝐱)\end{array}$

Príklad

Zobrazenie $\omega :{ℝ}^2⟶{ℝ}^2,𝐱⟶𝐱+k;k\ge 1$ nie je lineárne. Dôkaz sa dá urobiť priamo z definície lineárneho zobrazenia. Treba dokázať rovnosť (i)

$\omega (𝐱+𝐲)=𝐱+𝐲+k$

$\omega (𝐱)+\omega (𝐲)=(𝐱+k)+(𝐲+k)=𝐱+𝐲+2k$

Tu ale neplatí $\omega (𝐱+𝐲)\ne \omega (𝐱)+\omega (𝐲)$, pretože $𝐱+𝐲+k\ne 𝐱+𝐲+2k$. Dokazovať vlastnosť (ii) už nie je potrebné, keďže dané zobrazenie nie je lineárne.

Matica lineárneho zobrazenia

Lineárne zobrazenie môže byť reprezentované aj určitou maticou. Potom ak $\phi$ je lineárne zobrazenie, možno ho prepísať

$\phi (𝐱)=𝐀\cdot 𝐱;𝐀=\Vert a_{ij}{\Vert }_{m,n}$

Vektor $𝐱$ je chápaný ako matica $𝐱=\Vert x_i{\Vert }_{m,1}$. Tieto matice môžeme násobiť, lebo počet stĺpcov matice $𝐀$ je zhodný s počtom riadkov matice (vektoru) $𝐱$. Výsledkom lineárneho zobrazenia (súčinu matíc) bude vektor typu $m,1$. Maticu lineárneho zobrazenia je možné nájsť pomocou vlastnosti

$\phi (e_k)=𝐀\cdot e_k=a_k$

kde vektor $e_k$ je k-ty jednotkový vektor a $a_k$ je obraz k-teho jednotkového vektora, čo je vlastne k-ty stĺpec matice zobrazenia.

Príklad

Nájdime maticu $𝐀$ lineárneho zobrazenia $\phi$, ktoré ku každému vektoru $𝐱\in {ℝ}^2$ priradí jeho $\lambda$-násobok. Najprv sa treba presvedčiť, že dané zobrazenie skutočne spĺňa vlastnosti lineárneho zobrazenia. Podobne ako v prvom príklade treba dokázať rovnosť (i).

$\phi (𝐱+𝐲)=\lambda (𝐱+𝐲)=\lambda \cdot 𝐱+\lambda \cdot 𝐲$

$\phi (𝐱)+\phi (𝐲)=(\lambda \cdot 𝐱)+(\lambda \cdot 𝐲)=\lambda \cdot 𝐱+\lambda \cdot 𝐲$

Rovnosť teda platí. Teraz treba ešte dokázať vlastnosť (ii). Jednoduchým výpočtom

$\phi (\alpha \cdot 𝐱)=\lambda (\alpha \cdot 𝐱)=\alpha \cdot \lambda \cdot 𝐱$

$\alpha \cdot \phi (𝐱)=\alpha (\lambda \cdot 𝐱)=\alpha \cdot \lambda \cdot 𝐱$

Po dokázaní vlastností lineárneho zobrazenia, môžeme hľadať maticu. Stačí zistiť kam sa zobrazia vektory ${𝐞}_1,{𝐞}_2$ ortonormálnej bázy priestoru ${ℝ}^2$, keďže ide o normované jednotkové vektory. Zo zadania je zrejmé, že vektor sa zobrazí na svoj $\lambda$-násobok, teda

${𝐞}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\stackrel{\phi }{⟶}\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\lambda \\ 0\end{array}\right)$

${𝐞}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\stackrel{\phi }{⟶}\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ \lambda \end{array}\right)$

Matica tohto lineárneho zobrazenia je

$𝐀={\left(\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& \lambda \end{array}\right)}_{2\times 2}$

Súčinom tejto matice a ľubovoľného vektora priestoru ${ℝ}^2$ dostaneme požadovaný násobok zobrazovaného vektora. V tomto prípade je vzorom ľubovoľný vektor a jeho obraz podľa zobrazenia $\phi$ je jeho $\lambda$-násobok. Zobrazenia sa potom dá prepísať nasledovným spôsobom

$\left(\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& \lambda \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\phi (𝐱)$

Príklady matíc ďalších lineárnych zobrazení

Zobrazenie	Matica zobrazenia
$\lambda$-násobok vektora	$\left(\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& \lambda \end{array}\right)$
rotácia roviny o uhol $\gamma$	$\left(\begin{array}{cc}\cos \gamma & -\sin \gamma \\ \sin \gamma & \cos \gamma \end{array}\right)$
osová súmernosť podľa osi x	$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$
osová súmernosť podľa osi y	$\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$
kolmá projekcia na os x	$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$

Základná veta o lineárnych zobrazeniach

Nech ${\alpha }_1,...,{\alpha }_m$ je ľubovolná báza vektorového priestoru $V(F)$ a nech ${\beta }_1,...,{\beta }_m$ sú ľubovolné vektory priestoru $W(F)$. Potom existuje práve jedno lineárne zobrazenie $\phi :V(F)\to W(F)$ pre ktoré platí: $\phi ({\alpha }_1)={\beta }_1$ , $\phi ({\alpha }_2)={\beta }_2$ , ... , $\phi ({\alpha }_m)={\beta }_m$

Literatúra

• Šablóna:Citácia knihy
• Šablóna:Citácia knihy