Variácia (kombinatorika)

Variácia (Šablóna:V jazyku), presnejšie k-prvková variácia z n prvkov množiny M alebo variácia k-tej triedy z n prvkov množiny M, je ľubovoľné injektívne zobrazenie množiny $\{1,2,\dots ,k\}$ do množiny M. Niekedy sa definuje aj ako ľubovoľná permutácia niektorej k-prvkovej kombinácie z n prvkov množiny M, pričom tieto definície možno považovať za ekvivalentné. V angličtine sa pojem permutácie vzťahuje aj na variácie, prípadne to upresnia ako partial permutations či k-permutations.

Intuitívne možno o k-prvkovej variácii z n prvkov množiny M uvažovať ako o usporiadanej k-tici obsahujúcej každý prvok množiny N maximálne jeden raz. Medzi variáciami a takýmito k-ticami totiž existuje vzájomne jednoznačné zobrazenie, avšak charakter týchto dvoch štruktúr je rozdielny.

Variácie definované vo vyššie uvedenom zmysle sa nazývajú aj variácie bez opakovania. Variácia s opakovaním k-tej triedy z n prvkov množiny M sa definuje ako ľubovoľná usporiadaná k-tica pozostávajúca z prvkov množiny M.

Variácia bez opakovania

Variácia k-tej triedy z n prvkov bez opakovania je ľubovoľné injektívne zobrazenie množiny $\{1,2,\dots ,k\}$ do množiny M.

Počet možných variácií bez opakovanía je:
$V_k(n)=\frac{n!}{(n-k)!}=n\cdot (n-1)\cdot ...\cdot (n-k+1)$

Príklad

Koľkými spôsobmi môžu byť obsadené prvé tri miesta na šachovom turnaji, ak sa ho zúčastnili 8 hráči?
Riešenie: $V_3(8)=8\cdot 7\cdot 6=\frac{8!}{(8-3)!}=\frac{8!}{5!}=336$

Variácia s opakovaním

Variácia k-tej triedy s opakovaním z n prvkov je každá usporiadaná k-prvková skupina zostavená iba z týchto n prvkov tak, že sa každý prvok môže ľubovoľne krát opakovať.

Počet možných variácií s opakovaním je:
$V_k^{\prime }(n)=n^k$

Príklad

Koľkými spôsobmi možno zvoliť 4 - miestny kód trezoru, ak na ľubovoľnom mieste môže byť ľubovoľná číslica od 0 po 9?
Riešenie: $V_4(10)=10^4=10000$

Pozri aj

• Kombinatorika
• Permutácia (kombinatorika)
• Kombinácia (kombinatorika)
• Faktoriál

Použitá literatúra

• Marián Olejár a kol.: Zbierka vzorcov z matematiky, Vydavateľstvo Young Scientist, ISBN 80-88792-16-9

Externé odkazy

• Variacie na priklady.eu
• Variácie na http://www.oskole.skŠablóna:Nedostupný zdroj