Snellov zákon

Snellov zákon alebo Snellov zákon lomu je jeden zo základných zákonov geometrickej optiky; opisuje lom lúča svetla (či všeobecnejšie elektromagnetického žiarenia) na rovinnom rozhraní. Je pomenovaný podľa holandského fyzika Willebrorda Snellia.

Znenie zákona

Lom svetla

Ak lúč prechádza z prostredia s indexom lomu $n_1$ pod uhlom ${\theta }_1$ do prostredia s indexom lomu $n_2$, zalomí sa pod uhlom ${\theta }_2$:

$\sin {\theta }_1{n}_1=\sin {\theta }_2{n}_2$

$\sin {\theta }_2=\sin {\theta }_1\frac{n_1}{n_2}$

Je zrejmé, že sínus uhla ${\theta }_2$ môže byť najviac 1. Ak je uhol ${\theta }_1$ dostatočne veľký a $n_1>n_2$, môže nastať situácia, keby $\sin {\theta }_2$ vychádzal väčší ako 1. Vtedy sa svetlo neláme a do druhého prostredia vôbec neprechádza. Hovoríme o takzvanom úplnom (totálnom) odraze (reflexii), pretože všetko dopadajúce svetlo sa odrazí podľa zákona odrazu.

Pre medzný uhol ${\theta }_1$, kedy sa svetlo prestáva lámať, platí:

$\sin {\theta }_1=\frac{n_2}{n_1}$

Pre prechod z prostredia do prostredia je užitočný zápis pomocou rýchlostí. Vieme, že pre rýchlosť šírenia svetla v prostredí platí:

$v_i=c/n_i$

Zákon lomu možno preto upraviť na tvar:

$\frac{\sin {\theta }_1}{\sin {\theta }_2}=\frac{n_2}{n_1}=\frac{v_1}{v_2}$

Odvodenie

Snellov zákon sa zvyčajne odvodzuje pomocou princípu najmenšieho času.

Princíp najkratšieho času nie je fyzikálny zákon v pravom zmysle slova. Formuloval ho francúzsky matematik Pierre de Fermat okolo r. 1650. Podľa neho, svetlo sa šíri z bodu A do bodu B po takej trajektórii, aby do bodu B prišlo za čo najkratší čas. V súčasnosti sa slovo najkratší často nahradzuje slovom extremálny.

Zaveďme si, že bod A sa nachádza v kolmej vzdialenosti $a_{\perp }$ od roviny optického rozhrania, bod B v kolmej vzdialenosti $b_{\perp }$ na druhej strane rozhrania a ich vzdialenosť v smere roviny rozhrania je $d_{=}$. Najkratšia dráha sa zrejme bude nachádzať v rovine kolmej na rovinu rozhrania. Preto uvažujme to. Ďalej predpokladajme, že lúč dopadá vo vzdialenosti $x$ od päty kolmice na A do nejakého bodu X. Lúč sa bude pohybovať po úsečke AX a potom po úsečke XB. Čas, za aký prejde lúč z bodu A do bodu B po tejto trajektórii bude:

$t=\frac{\sqrt{a_{\perp }^2+x^2}}{v_1}+\frac{\sqrt{b_{\perp }^2+(d_{=}-x{)}^2}}{v_2}$

Chceme zistiť, kde musí ležať bod X, a teda aká musí byť vzdialenosť $x$, aby bol tento čas minimálny. Preto tento čas zderivujeme podľa premennej $x$ a túto deriváciu položíme rovnú 0:

$\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\frac{x}{v_1\sqrt{a_{\perp }^2+x^2}}-\frac{d-x}{v_2\sqrt{b_{\perp }^2+(d_{=}-x{)}^2}}=0$

Ak si nakreslíme obrázok, vidíme že niektorého výrazy v našej rovnici sa dajú nahradiť funkciami uhlov. Výraz sa tak zjednoduší na:

$\frac{\sin {\theta }_1}{v_1}=\frac{\sin {\theta }_2}{v_2}$

Dostávame Snellov zákon:

$\frac{\sin {\theta }_1}{\sin {\theta }_2}=\frac{v_1}{v_2}=\frac{n_2}{n_1}$

Praktické následky

• Index lomu vzduchu je síce len málo odlišný od 1, ale predsa len väčší ako 1. To spôsobuje, že slnečné lúče sa v atmosfére lámu. Pri obzore sa slnko zdá byť o 1/2° vyššie, ako v skutočnosti je. Slnko sa taktiež javí sploštené.
• Za predpokladu, že rýchlosť šírenia svetla v prostredí sa mení lineárne (napr. hustnúci vzduch v atmosfére), dá sa ukázať, že trajektóriou lúča je kružnicový oblúk.
• V dôsledku prehriatia vzduchu nad horúcimi povrchmi môže ich index lomu poklesnúť. Takto môže vo vzduchu dochádzať k totálnemu odrazu, ktorý nazývame fatamorgána.
• Snellov zákon možno použiť na optimalizáciu trajektórie telies aj v mechanike. Typickou úlohou na tento problém je optimalizácia dráhy Boba, ktorý beží za Alicou, pričom musí prebehnúť pás bahna, pás poľa a pás lúky a v každom páse sa pohybuje inou rýchlosťou. Bob chce vedieť, po akej dráhe má bežať, aby za Alicou prišiel za čo najkratší čas.