Schrödingerova rovnica

Schrödingerova rovnica je základná diferenciálna rovnica, ktorá určuje vývoj fyzikálneho systému formalizmom vlnovej mechaniky. Je ústrednou rovnicou kvantovej mechaniky. Pomenovaná je podľa Erwina Schrödingera, ktorý ju sformuloval v roku 1926.

Schrödingerova rovnica môže byť matematicky pretransformovaná na Heisenbergovu maticovú mechaniku a Feynmanovu formuláciu dĺžkového integrálu.

Schrödingerova rovnica

V závislosti od toho, aký systém chceme popísať, Schrödingerovu rovnicu môžeme napísať vo viacerých tvaroch. V tejto časti predstavujeme rovnicu pre všeobecné a jednoduché prípady, ktoré sú predmetom mnohých učebníc.

Všeobecný kvantový systém

Pre všeobecný kvantový systém platí:

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }=\hat{H}\mathrm{\Psi }$

kde

• $\mathrm{\Psi }$ je vlnová funkcia
• $i\hslash \frac{\partial }{\partial t}$ je operátor energie ($i$ je imaginárna jednotka a $\hslash$ je Planckova konštanta vydelená číslom 2$\pi$),
• $\hat{H}$ je Hamiltonián.

Jedna častica s potenciálnou energiou

Pre jednu časticu, na ktorú pôsobia sily (čiže potenciálna energia V je nenulová), má Schrödingerova rovnica tvar:

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }(𝐫,t)=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Psi }(𝐫,t)+V(𝐫)\mathrm{\Psi }(𝐫,t)$

kde

• $-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2$ je operátor kinetickej energie (m je hmotnosť častice),
• ${\mathrm{\nabla }}^2$ je Laplaceov operátor. V troch rozmeroch má Laplaceov operátor tvar$\frac{{\partial }^2}{{\partial x}^2}+\frac{{\partial }^2}{{\partial y}^2}+\frac{{\partial }^2}{{\partial z}^2}$, kde x, y a z sú osi v karteziánskej súradnicovej sústave,
• $V\left(𝐫\right)$ je časovo nemenná potenciálna energia v mieste udanom polohovým vektorom r,
• $\mathrm{\Psi }(𝐫,t)$ je amplitúda pravdepodobnosti pre časticu, ktorá sa má nachádzať v čase t na mieste určenom polohovým vektorom r.

Časovo nezávislá Schrödingerova rovnica

Časovo nezávislá Schrödingerova rovnica pre jednu časticu s potenciálnou energiou V má tvar:

$E\psi (r)=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\psi (r)+V(r)\psi (r).$

Odvodenie

Krátke heuristické odvodenie

Schrödingerova rovnica môže byť odvodená nasledovným spôsobom.Šablóna:Chýba citácia

Predpoklady

1. Celková energia častice E je

   $E=T+V=\frac{p^2}{2m}+V.$

   Toto je klasický zápis pre časticu s hmotnosťou m, kde celková energia E je daná súčtom kinetickej energie T a potenciálnej energie V (táto sa môže meniť v závislosti od polohy a času). p je hybnosť častice a m jej hmotnosť.

2. Einsteinova hypotéza kvánt energie z roku 1905, podľa ktorej je energia E fotónu priamoúmerná veľkosti frekvencie ν (alebo uhlovej frekvencie ω = 2πν) korešpondujúcej elektromagnetickej vlny.

   $E=h\nu =\hslash \omega ,$

3. de Broglieho hypotéza z roku 1924, podľa ktorej akejkoľvek častici môže byť priradená vlna a hybnosť častice p je vo vzťahu ku vlnovej dĺžke λ (alebo vlnového čisla k) takom, že platí:

   $p=\frac{h}{\lambda }=\hslash k,$

4. Tieto tri predpoklady umožňujú odvodiť len rovnicu pre rovinnú vlnu. Tvrdiť, že takáto rovnica platí pre akúkoľvek vlnu vyžaduje princíp superpozície, a preto je nutné postulovať nezávislý predpoklad, že Schrödingerova rovnica je lineárna.

Vyjadrenie vlnovej funkcie vo forme komplexnej rovinnej vlny

Hľadáme parciálnu diferenciálnu rovnicu, ktorej riešením je nasledovná rovnica pre rovinnú vlnu (i):

$\mathrm{\Psi }(𝐱,t)=A{e}^{i(𝐤\cdot 𝐱-\omega t)}$

kde A je komplexná konštanta

Platí:

$E=\frac{p^2}{2m}$

Použijúc druhý a tretí predpoklad dostávame (ii):

$\hslash \omega =\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}$

Teraz zderivujeme vlnovú funkciu (i) najskôr podľa času t a potom podľa osi x:

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }(𝐱,t)=\hslash \omega \mathrm{\Psi }(𝐱,t)$

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\mathrm{\Psi }(𝐱,t)=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}\mathrm{\Psi }(𝐱,t)$

Keďže platí (ii), platí aj

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }(𝐱,t)=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\mathrm{\Psi }(𝐱,t),$

čo je Schrödingerova rovnica pre časticu pohybujúcu sa v smere osi x za neprítomnosti potenciálu V.

Schrödingerova rovnica pre časticu v trojrozmernom priestore za prítomnosti pôsobenia síl (teda potenciálu V) má tvar:

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Psi }+V\mathrm{\Psi }$

Zdroj

• Šablóna:Preklad