Relácia identity

Relácia identity (iné názvy: identická relácia, identické zobrazenie, identita, relácia rovnosti, vzťah rovnosti, diagonála) na množine $A$ je binárna relácia, ktorá dáva každý prvok množiny $A$ do vzťahu iba a len so sebou samým. Identita na $A$ je teda množina

$\{(x,x)|x\in A\}$.

Keďže identická relácia dáva každý prvok množiny $A$ do vzťahu s nanajvýš jedným iným prvkom množiny $A$, konkrétne so sebou samým, je to súčasne zobrazenie. Pojem identické zobrazenie alebo identická funkcia sa používa vtedy, ak treba zdôrazniť, že sa v konkrétnom kontexte identita chápe ako zobrazenie. Pre identitu ako reláciu sa najčastejšie používa symbol $=$, identita na $A$ ako zobrazenie sa označuje znakom ${\mathrm{I}\mathrm{d}}_A$.

Vlastnosti

• Identitická relácia na $A$ je permutácia a dokonca involutívna. V permutačnej grupe množiny $A$ zohráva úlohu neutrálneho prvku.
• Identická relácia na $A$ je najmenšia ekvivalencia na $A$ vzľadom k inklúzii.
• Identická relácia je príkladom relácie, ktorá je súčasne symetrická aj antisymetrická.