Potenciálová bariéra

Jednorozmerná pravoúhla potenciálová bariéra.
Bodkovanou čiarou je vyjadrený možný reálny potenciál a plnou modrou čiarou je jeho aproximácia pravouhlou potenciálovou bariérou.

Potenciálová bariéra alebo potenciálový val sa vo fyzike označuje také rozloženie potenciálu, že jeho hodnota je v určitej (obmedzenej) oblasti nenulová, pričom sa predpokladá, že je (aspoň približne) konštantná, konečná a kladná, zatiaľ čo mimo túto oblasť je hodnota potenciálu nulová.

V jednorozmernom prípade je možné potenciálovú bariéru vyjadriť potenciálom

$V=\{\begin{array}{cc}0& \text{ pre }x<0\text{ a }x>a\\ V_0& \text{ pre }0<x<a\end{array}$

Potenciálová bariéra umožňuje v kvantovej mechanike popísať základné vlastné vlastnosti kvantového tunelovania.

Obdobným prípadom ako potenciálová bariéra je tzv. potenciálová jama, kedy je $V_0<0$.

Klasická mechanika

V klasickej mechanike je pohyb častíc povolený iba v oblasti, kde energia $E$ častice je menšia ako hodnota potenciálu.

Pokiaľ sa teda častica s $E<V_0$ pohybuje smerom k potenciálovej bariére, potom sa môže pohybovať iba mimo oblasť $0<x<a$. Do oblasti $0<x<a$ takáto častica nemôže vstúpiť. V klasickej mechanike sa teda častice nachádzajúce v oblasti $x<0$ nemôžu dostať do oblasti $x>a$ a naopak. Potenciálová bariéra je pre takéto častice nepriepustnou stenou, ktorá oddeľuje obe oblasti $x<0$ a $x>a$.

Častice s $E>V_0$ sa môžu pohybovať i v oblasti $0<x<a$ a môžu teda cez potenciálovú bariéru prechádzať. Takáto klasická častica pohybujúca sa smerom k potenciálovej bariére cez túto bariéru vždy prejde, tzn. nikdy nedôjde ku jej odrazu. K odrazu častice od bariéry dochádza iba v prípade $E<V_0$.

Kvantová mechanika

V kvantovej mechanike sa vlastnosti častice určia riešením odpovedajúcející Schrödingerovej rovnice.

Stacionárnu Schrödingerovu rovnicu vyjadríme zvlášť pre oblasť $x<0$, oblasť $0<x<a$ a pre oblasť $x>a$. V bodoch $x=0$ a $x=a$ je pritom požadované, aby vlnová funkcia bola spojitá vrátane svojej prvej derivácie.

Schrödingerove rovnice teda majú tvar

$\begin{array}{cc}\frac{{\mathrm{d}}^2{\psi }_I}{\mathrm{d}{x}^2}+\frac{2mE}{{\hslash }^2}{\psi }_I=0& \text{ pre }x<0\\ \frac{{\mathrm{d}}^2{\psi }_{II}}{\mathrm{d}{x}^2}+\frac{2m(E-V_0)}{{\hslash }^2}{\psi }_{II}=0& \text{ pre }0<x<a\\ \frac{{\mathrm{d}}^2{\psi }_{III}}{\mathrm{d}{x}^2}+\frac{2mE}{{\hslash }^2}{\psi }_{III}=0& \text{ pre }x>a\end{array}$

Charakter riešenia sa líši podľa toho, či celková energia častice $E$ je väčšia, alebo menšia než výška potenciálovej bariéry $V_0$. Výslednú vlnovú funkciu je možné rozdeliť na niekoľko častí. Predovšetkým na dopadajúcu vlnu, ktorá súvisí s voľnou časticou pohybujúcou sa smerom k potenciálovej bariére zo záporného nekonečna (teda v oblasti $x<0$). Ďalej môžeme uvažovať, že vlna sa po dopade čiastočne odrazí a čiastočne bude prechádzať do oblasti $0<x<a$. V tejto oblasti postupuje vlna ďalej k bodu $x=a$, kde prechádza druhým potenciálovým skokom, od ktorého sa opäť čiastočne odráža a čiastočne prejde do oblasti $x>a$. V oblasti x < 0 teda bude výsledná vlna ${\psi }_I$ opísaná superpozíciou dopadajúcej vlny pohybujúcej sa v smere $+x$ a odrazenej vlny pohybujúcej sa v smere $-x$. Podobne v oblasti $0<x<a$ je možné výslednú vlnu ${\psi }_{II}$ opísať ako superpozíciu vĺn z oboch smerov, zatiaľ čo v oblasti $x>a$ je možné nájsť iba prešlú vlnu ${\psi }_{III}$ pohybujúcu sa v smere $+x$.

Prípad E>V₀

Ak zavedieme konštanty

$k_I^2=\frac{2mE}{{\hslash }^2}$

$k_{II}^2=\frac{2m(E-V_0)}{{\hslash }^2}$

potom je možné všeobecné riešenie vyjadriť v tvare

${\psi }_I=A{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{k}_{I}x}+B{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{k}_{I}x}$

${\psi }_{II}=C{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{k}_{II}x}+D{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{k}_{II}x}$

${\psi }_{III}=F{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{k}_{I}x}+G{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{k}_{I}x}$

Vzhľadom na to, že podľa predpokladu sa častica pohybuje zo záporného nekonečna, bude koeficient u člena opisujúceho v oblasti $x>a$ pohyb smerom k bariére nulový, tzn. $G=0$.

Z podmienky spojitosti vlnovej funkcie a jej prvej derivácie v bodoch $x=0$ a $x=a$, tzn. na základe rovností ${\psi }_I(0)={\psi }_{II}(0)$, ${\psi }_I^{\prime }(0)={\psi }_{II}^{\prime }(0)$, ${\psi }_{II}(a)={\psi }_{III}(a)$ a ${\psi }_{II}^{\prime }(a)={\psi }_{III}^{\prime }(a)$, dostaneme podmienky umožňujúce určiť koeficienty $A,B,C,D,F$, tzn.

$A+B=C+D$

$\mathrm{i}{k}_I(A-B)=\mathrm{i}{k}_{II}(C-D)$

$C{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{k}_{II}a}+D{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{k}_{II}a}=F{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{k}_{I}a}$

$\mathrm{i}{k}_{II}(C{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{k}_{II}a}-D{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{k}_{II}a})=\mathrm{i}{k}_{I}F{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{k}_{I}a}$

Pravdepodobnosť prechodu kvantovej častice cez bariéru je možné pre $E>V_0$ vyjadriť vzťahom

$T={\left|\frac{F}{A}\right|}^2=\frac{1}{1+\frac{1}{4}{(\sqrt{\frac{E}{V_0-E}}+\sqrt{\frac{V_0-E}{E}})}^2{\sinh }^2\sqrt{\frac{8m(V_0+E)}{{\hslash }^2}}a}$

Pravdepodobnosť odrazu od bariéry sa rovná

$R={\left|\frac{B}{A}\right|}^2=1-T$

Pre ľubovoľne široký a vysoký potenciálový val je táto pravdepodobnosť nenulová. Táto pravdepodobnosť však s rastúcou šírkou valu a rastúcim rozdielom energií $V_{-}E$ veľmi rýchlo klesá. Z tohto dôvodu je teda pri makroskopických procesoch tento jav zanedbateľný a nie je ho potrebné uvažovať.

Prípad E<V₀

Ak zavedieme konštanty

$k_I^2=\frac{2mE}{{\hslash }^2}$

$k_{II}^2=\frac{2m(V_0-E)}{{\hslash }^2}$

potom je všeobecné riešenie možné vyjadriť v tvare

${\psi }_I=A{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{k}_{I}x}+B{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{k}_{I}x}$

${\psi }_{II}=C{\mathrm{e}}^{-k_{II}x}+D{\mathrm{e}}^{k_{II}x}$

${\psi }_{III}=F{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{k}_{I}x}+G{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{k}_{I}x}$

Vzhľadom na to, že podľa predpokladu sa častica pohybuje zo záporného nekonečna, bude koeficient člena opisujúceho v oblasti $x>a$ pohyb smerom k bariére nulový, tzn. $G=0$.

Z podmienky spojitosti vlnovej funkcie a jej prvej derivácie v bodoch $x=0$ a $x=a$, tzn. na základe rovnosti ${\psi }_I(0)={\psi }_{II}(0)$, ${\psi }_I^{\prime }(0)={\psi }_{II}^{\prime }(0)$, ${\psi }_{II}(a)={\psi }_{III}(a)$ a ${\psi }_{II}^{\prime }(a)={\psi }_{III}^{\prime }(a)$, dostaneme podmienky umožňujúce určiť koeficienty $A,B,C,D,F$, tzn.

$A+B=C+D$

$\mathrm{i}{k}_I(A-B)=-k_{II}(C-D)$

$C{\mathrm{e}}^{-k_{II}a}+D{\mathrm{e}}^{k_{II}a}=F{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{k}_{I}a}$

$-k_{II}(C{\mathrm{e}}^{-k_{II}a}-D{\mathrm{e}}^{k_{II}a})=\mathrm{i}{k}_{I}F{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{k}_{I}a}$

Pravdepodobnosť prechodu častice bariérou je možné vyjadriť ako

$T==\frac{1}{1+\frac{V_0^2{\sinh }^2(k_{II}a)}{4E(V_0-E)}}$

Častica dopadajúca na potenciálový val sa teda podľa kvantovej mechaniky nemusí vždy odraziť, ale môže bariérou s určitou pravdepodobnosťou prejsť. Prechod častice bariérou je čisto kvantový jav, s kterým sa v klasickej mechanike nestretneme. Tento jav sa označuje ako tunelový jav alebo kvantové tunelovanie.

Pozri aj

• Potenciálna energia
• Potenciálový skok
• Potenciálová jama
• Tunelový jav