Pomoc:Matematické vzorce

Šablóna:Stylehowto Softvér MediaWiki používa na tvorbu matematických vzorcov podmnožinu príkazov jazyka LaTeX a AMSLaTeX. Na základe nastavení a zložitosti vytvoreného vzorca je potom zo zdrojového textu vytvorený matematický vzorec vo formáte HTML (jednoduchšie výrazy) alebo v podobe obrázka PNG (zložitejšie resp. komplexnejšie výrazy). Každý vzorec za zapisuje medzi značky <math> a </math>.

Syntaktické pravidlá

V prostredí math sú ignorované všetky zadané medzery. Veľkosť medzier medzi jednotlivými znakmi riadi algoritmus. Rovnako sú ignorované konce riadkov. Napríklad zápis

<math> x +
y=z      -1 </math>

a zápis

<math> x + y = z - 1 </math>

vedie k rovnakému výsledku $x+y=z-1$.

Horné a dolné indexy

Na vytváranie horného indexu slúži znak ^, na dolný index znak _. Ak je index tvorený viacerými znakmi, je potrebné ich umiestniť medzi znaky { a }.

zápis	výstup
x^2	$x^2$
x_1	$x_1$
x_1^2	$x_1^2$
a^{bc}_{de}	$a_{de}^{bc}$
R_i{}^j{}_{kl}	$R_i{}^j{}_{kl}$
\beta^2	${\beta }^2$

Príklad:
$d{s}^2=d{x}_1^2+d{x}_2^2+d{x}_3^2-c^{2}d{t}^2$

zápis: ds^2 = dx_1^2 + dx_2^2 + dx_3^2 - c^2 dt^2

$R_i{}^j{}_{kl}=g^{jm}{R}_{imkl}=-g^{jm}{R}_{mikl}=-R^j{}_{ikl}$

zápis: R_i{}^j{}_{kl} = g^{jm} R_{imkl} = - g^{jm} R_{mikl} = - R^j{}_{ikl}\,\!

Grécke písmená

Grécke písmená sa tvoria pomocou znaku \ nasledovaným názvom písmena v angličtine.

zápis	výstup
\alpha	$\alpha$
\beta	$\beta$
\gamma	$\gamma$
\delta	$\delta$
\nu	$\nu$
\mu	$\mu$

To isté platí aj pre veľké písmená, ale po znaku \ nasleduje názov s veľkým začiatočným písmenom.

zápis	výstup
\Gamma	$\mathrm{\Gamma }$
\Delta	$\mathrm{\Delta }$
\Theta	$\mathrm{\Theta }$
\Omega	$\mathrm{\Omega }$
\Pi	$\mathrm{\Pi }$
\Sigma	$\mathrm{\Sigma }$

Niektoré grécke písmená majú dva varianty, aby napr. nedochádzalo k zámene s inými znakmi (napr. $ϵ$ a $\in$)

zápis	výstup
\rho \varrho	$\rho \varrho$
\phi \varphi	$\varphi \phi$
\epsilon \varepsilon	$ϵ\epsilon$
\pi \varpi	$\pi \varpi$
\sigma \varsigma	$\sigma \varsigma$

Diakritické znamienka

V matematickom móde nie je možné používať priamo diakritické znamienka (konverzia vzorca skončí neúspešne). Vhodné sú na rozlišovanie premenných a veličín (napr. $\dot{V}$ a $V$)

zápis	výstup
\acute{a}	$\acute{a}$
\grave{a}	$\stackrel{`}{a}$
\hat{a}	$\hat{a}$
\check{a}	$\check{a}$
\tilde{a}	$\tilde{a}$
\breve{a}	$\breve{a}$
\bar{a}	$\overline{a}$
\dot{a}	$\dot{a}$
\ddot{a}	$\ddot{a}$
\vec{a}	$\overrightarrow{a}$

Špeciálne písmená

Príklady pre množiny, švabach a hebrejčinu.

zápis: x\in\mathbb{R}\sub\mathbb{C}

vytvorí: $x\in ℝ\subset ℂ$

zápis: \mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = 0

vytvorí: $𝐱\cdot 𝐲=0$

zápis: \aleph \beth \gimel \daleth

vytvorí: $\mathrm{\aleph }\beth \gimel \daleth$

zápis: \mathcal{ABCDE}

vytvorí: $𝒜ℬ𝒞𝒟ℰ$

zápis: \mathfrak{aAbBcC} 

vytvorí: $𝔞𝔄𝔟𝔅𝔠ℭ$

Diakritika

Ak vložíte do <math> nie-ASCII znak, objaví sa na výstupe červená chybová hláška. Diakritiku je ale možné vložiť pomocou príkazov TeX-u:

$\acute{a}\check{a}\stackrel{`}{a}\breve{a}\tilde{a}\hat{a}$

zápis: \acute{a} \quad \check{a} \quad \grave{a} \quad \breve{a} \quad \tilde{a} \hat{a}

Funkcie

Názov funkcie sa nepíše pomocou kurzívy ako premenná, ale stojatým písmom. Pre väčšinu matematických funkcií jestvuje príkaz.

zápis	výstup	zápis	výstup
\sin x	$\sin x$	\ln x	$\ln x$
\cos \alpha	$\cos \alpha$	\log (x+1)	$\log (x+1)$
\tan x	$\tan x$	\max (1,2,3)	$\max (1,2,3)$
\arcsin x	$\arcsin x$	\exp (2\pi r)	$\exp (2\pi r)$

Príklad: $\sin x+\ln y+\mathrm{sgn}z$

zápis: \sin x + \ln y +\operatorname{sgn} z

Zátvorky a absolútna hodnota

$\Vert f\Vert =\inf \{K\in [0,+\mathrm{\infty }):|f(x)|\le K\Vert x\Vert \text{ for all }x\in X\}$

zápis: \|f\| = \inf \{ K \in [0,+\infty) : |f(x)| \leq K \|x\| \mbox{ for all } x \in X \}

$f(x,y,z)=3y^{2}z(3+\frac{7x+5}{1+y^2})$

zápis: f(x,y,z) = 3y^2 z \left( 3 + \frac{7x+5}{1 + y^2} \right)

Zlomky

Zlomky sa vytvárajú pomocou príkazu \frac{<čitateľ>}{<menovateľ>}. Zátvorky okolo zlomkov sa tvoria pomocou príkazov \left( a \right) (prípadne \left\{ a \right\} a pod.)

zápis	výstup
\frac{x-y}{(x+y)^2}	$\frac{x-y}{(x+y{)}^2}$
\left(\frac {1}{x}\right)^2	${\left(\frac{1}{x}\right)}^2$
\left[\frac{2x}{y+1}\right]	$\left[\frac{2x}{y+1}\right]$
\frac{x+1}{y-1}	$\frac{x+1}{y-1}$

Príklad: $f(x)=2x+\frac{x-7}{x^2+4}$ zápis: f(x) = 2x + \frac{x - 7}{x^2 + 4}

Odmocniny

Druhá odmocnina sa zapisuje pomocou príkazu \sqrt. Vyššie odmocniny sa zapisujú pomocou príkazu \sqrt[], pričom v hranatých zátvorkách sa uvádza odmocnina.

zápis	výstup
\sqrt x	$\sqrt{x}$
\sqrt{(a+b)^2}	$\sqrt{(a+b{)}^2}$
\sqrt[3]{a}	$\sqrt[3]{a}$
\sqrt{\frac{x+1}{y-1}}	$\sqrt{\frac{x+1}{y-1}}$

Príklad:

$\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

zápis: \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

$\sqrt[3]{q+\sqrt{q^2-p^3}}+\sqrt[3]{q-\sqrt{q^2-p^3}}$

zápis: \sqrt[3]{q + \sqrt{ q^2 - p^3 }} + \sqrt[3]{q - \sqrt{ q^2 - p^3 }}

Integrály

Pre znak integrálu je jestvuje príkaz \int, pričom na zápis rozsahu integrovania sa používa horný a dolný index. Na zápis derivácie sa používa stojaté písmo (\mathrm{d}) a obvykle sa od predchádzajúceho výrazu oddeľuje zúženou medzerou (\,).

zápis: \int_{a}^{b} e^x\, \mathrm{d}x

vytvorí: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{e}^x\mathrm{d}x$

zápis: \oint_{C} x^3\, \mathrm{d}x + 4y^2\, \mathrm{d}y

vytvorí: ${\oint }_C{x}^3\mathrm{d}x+4y^2\mathrm{d}y$

zápis: \iint_{a}^{b} e^x\, \mathrm{d}x

vytvorí: $\underset{a}{\overset{b}{\iint }}{e}^x\mathrm{d}x$

Príklad:

$\underset{-N}{\overset{N}{\int }}{e}^x\mathrm{d}x$

zápis: \int_{-N}^{N} e^x\, \mathrm{d}x

Derivácie

V slovenskej (a českej) notácii býva zvykom písať diferenciály „rovné“ pomocou \mathrm{} ako

$\mathrm{d}x$ zápis: \mathrm{d}x,

čiže napr. pre deriváciu f podľa x

$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$

zápis: \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}

Suma a limita

Ako znak sumy slúži príkaz \sum a pre produkt súčinu príkaz \prod. Horná a dolná medza sa zapisuje pomocou horného a dolného indexu.

zápis: \sum_{i=1}^n x^2 vytvorí: $\sum _{i=1}^n{x}_i$

zápis: \prod_{i=1}^n x_i vytvorí: $\prod _{i=1}^n{x}_i$

Limita sa zapisuje pomocou príkazu \lim s dolným indexom (príkaz \to vytvorí šípku).

zápis: \lim_{n \to \infty}x_n

vytvorí: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n$

Príklad:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n$ zápis: \lim_{n \to \infty}x_n

$\sum _{k=1}^N{k}^2$ zápis: \sum_{k=1}^N k^2

$\prod _{i=1}^N{x}_i$ zápis: \prod_{i=1}^N x_i

Matice

zápis	výstup
\begin{matrix} x & y \\ z & v \end{matrix}	$\begin{array}{cc}x& y\\ z& v\end{array}$
\begin{pmatrix} x & y \\ z & v \end{pmatrix}	$\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& v\end{array}\right)$
\begin{vmatrix} x & y \\ z & v \end{vmatrix}	$\left|\begin{array}{cc}x& y\\ z& v\end{array}\right|$
\begin{Vmatrix} x & y \\ z & v \end{Vmatrix}	$\Vert \begin{array}{cc}x& y\\ z& v\end{array}\Vert$
\begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix}	$\left[\begin{array}{ccc}0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0\end{array}\right]$
\vec a\times \vec b = \det\begin{pmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\ a_x & a_y &a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{pmatrix}	$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\det \left(\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ a_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\end{array}\right)$

Príklad:

$\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right)$ $\left|\begin{array}{ccc}\lambda -a& -b& -c\\ -d& \lambda -e& -f\\ -g& -h& \lambda -i\end{array}\right|$ $\begin{array}{ccc}\text{Prve cislo}& x& 8\\ \text{Druhe cislo}& y& 15\\ \text{Sucet}& x+y& 23\\ \text{Rozdiel}& x-y& -7\\ \text{Sucin}& xy& 120\end{array}$

zápis: \begin{pmatrix}a & b & c \\d & e & f \\g & h & i \end{pmatrix}

       \begin{vmatrix}\lambda - a & -b & -c \\-d & \lambda - e & -f \\-g & -h & 
       \lambda - i \end{vmatrix}
       \begin{matrix}\mbox{Prve cislo} & x & 8 \\\mbox{Druhe cislo} & y & 15 \\
       \mbox{Sucet} & x + y & 23 \\\mbox{Rozdiel} & x - y & -7 \\
       \mbox{Sucin} & xy & 120 \end{matrix}

$f(n)=\left\{\begin{array}{cc}n/2,& \text{ ak }n\text{ je neparne}\\ 3n+1,& \text{ ak }n\text{ je parne}\end{array}\right\}$

zápis: f(n)=\left\{\begin{matrix} n/2, & \mbox{ ak }n\mbox{ je neparne} \\ 3n+1,

& \mbox{ ak }n\mbox{ je parne}\end{matrix}\right\\,\!}

Špeciálne znaky

zápis	výstup	zápis	výstup
\sim	$\sim$	\leftarrow	$\leftarrow$
\approx	$\approx$	\rightarrow	$\to$
\simeq	$\simeq$	\to	$\to$
\cong	$\cong$	\not\to	$\to ̸$
\dot=	$\dot{=}$	\leftrightarrow	$\leftrightarrow$
\le	$\le$	\Leftarrow	$\Leftarrow$
\ge	$\ge$	\Rightarrow	$\Rightarrow$
\gg	$\gg$	\Leftrightarrow	$\iff$
\ll	$\ll$	\infty	$\mathrm{\infty }$
\equiv	$\equiv$	\times	$\times$
\ne	$\ne$	\cdot	$\cdot$
\propto	$\propto$	\pm	$\pm$
\hbar	$\hslash$	\nabla	$\mathrm{\nabla }$
\partial	$\partial$	\emptyset	$\mathrm{\varnothing }$

Medzery

V prostredí math sú ignorované všetky zadané medzery, pretože sádzací program ich volí podľa vlastného algoritmu. Tento algoritmus pracuje väčšinou správne, ale niekedy je nutné si medzeru vynútiť. K dispozícii je viacero veľkostí medzier.

medzera	ukážka	poznámka
a\qquad b	$ab$
a\quad b	$ab$
a\ b	$ab$	medzislovná medzera
a\; b	$ab$
a\, b	$ab$	zúžená medzera
a\! b	$ab$	záporná medzera

Typografia vzorcov

Pri tvorbe matematických vzorcov je vhodné dodržiavať niektoré pravidlá, ktoré zlepšujú ich interpretáciu a estetiku.

• Znak násobenia

ako znak násobenia nie je dobré používať bodku na úrovni riadku (a.b), ale bodku v strede riadku (a\cdot b) alebo krížik (a\times b).

• Derivácia

v slovenskej typografii (na rozdiel od anglosaskej) je zvykom písať znak derivácie „d“ stojatým písmom (pre rozlíšenie od premennej, ktorá sa píše kurzívou). Do stojatého písma sa prepína pomocou príkazu \mathrm{...}. Píšeme teda \mathrm{d}x a získame $\mathrm{d}x$

• Fyzikálne jednotky

podobne ako derivácia sa značky fyzikálnych jednotiek píšu stojatým písmom a od číselnej hodnoty sa oddeľujú zúženou medzerou \,. Píšeme teda m = 5\,\mathrm{kg} a získame $m=5\mathrm{k}\mathrm{g}$

• Desatinná čiarka

program LaTeX používa ako desatinný oddeľovač bodku (3.14), v slovenskej typografii to je čiarka, za ktorú však LaTeX automaticky vkladá medzeru. To sa dá potlačiť umiestnením čiarky do zátvoriek. Píšeme teda \pi = 3{,}14 a získame $\pi =3,14$

• Písanie slov

v prostedí math je každé písmeno chápané ako premenná, preto je sádzané kurzívou a navyše sú ignorované všetky medzery (ak n>2, potom vytvorí $akn>2,potom$). Je potrebné používať prostredie \mbox{}.
Píšeme teda (pozor na medzery!) \mbox{ak }n>2\mbox{, potom...} a získame $\text{ak }n>2\text{, potom...}$

• Indexy

veľmi často sa dolný index používa na rozlíšenie veličín (t – čas; t_P – Planckov čas). Je vhodné, aby index, ktorý reprezentuje len skratku, bol sádzaný stojatým písmom. Píšeme teda

h_{\mathrm{max}} a získame $h_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$,

T_{\mathrm{v}} a získame $T_{\mathrm{v}}$ (teplota varu),

ale píšeme C_p a získame $C_p$ (p – značka tlaku kurzívou)

• Funkcie

názvy funkcií (napr. sin, cos, ...) nepíšeme kurzívou (napr. sin x), pretože sin x vytvorí $sinx$, čo sa dá intepretovať aj ako súčin premenných s, i, n a x.
Používame pripravené príkazy \sin, \cos, \log, ...

Vkladanie formátovacích znakov

Pri tvorbe matematických vzorcov je potrebné používať niektoré znaky, ktoré sa nenachádzajú na bežnej slovenskej klávesnici. Je však možné ich vkladať pomocou tzv. alt kódov (klávesa alt (resp. alt gr) + číslo).

znak	alt kód	alternatíva
\	alt + 92	alt + q
^	alt + 94	alt + 3 a potom medzera
_	alt + 95	shift + -
[	alt + 91	alt + f
]	alt + 93	alt + g
{	alt + 123	alt + b
}	alt + 125	alt + n
<	alt + 60	alt + ,
>	alt + 62	alt + .

Vykresľovanie vzorcov

Na základe používateľských nastavení a zložitosti vytvoreného vzorca je vytvorený buď vzorec vo formáte HTML alebo vo formáte PNG. Niekedy však vzorec vo formáte PNG ponúka uspokojivejší výsledok. V takom prípade je možné si PNG formát vynútiť príkazom \,\! umiestneným na konci či začiatku vzorca (ide o príkaz pre zúženú medzeru „neutralizovaný“ zápornou medzerou rovnakej veľkosti).

zápis	výstup
abc	$abc$
abc\,\!	$abc$
a^2 + b^2 = c^2	$a^2+b^2=c^2$
a^2 + b^2 = c^2\,\!	$a^2+b^2=c^2$

Pozn.: V tomto návode boli pre jednotnosť všetky vzorce vynútené ako PNG pomocou spomenutého mechanizmu.

Ukážky hotových vzorcov

zápis	výstup
x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}	$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
x^n + y^n = z^n\quad(n>3;\ x,y,z \in \mathbb{N})	$x^n+y^n=z^n(n>3;x,y,z\in \mathbb{N})$
\sqrt[n+1]{x_1+ \cdots + x_n}	$\sqrt[n+1]{x_1+\cdots +x_n}$
p_1 V_1 = p_2 V_2 \quad (T = \mathrm{const})	$p_1{V}_1=p_2{V}_2(T=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t})$
\int^\infty_0 f(x)\,\mathrm{d}x	$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$
x + y = \max\{x,y\} +\min\{x,y\}	$x+y=\max \{x,y\}+\min \{x,y\}$
\sin 18^\circ = \frac{1}{4}(\sqrt 5 - 1)	$\sin 18^{\circ }=\frac{1}{4}(\sqrt{5}-1)$
f(x,y,z) = 3y^2 z \left( 3 + \frac{7x+5}{1 + y^2} \right)	$f(x,y,z)=3y^{2}z(3+\frac{7x+5}{1+y^2})$
n \choose k/2	$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k/2})$
f(n) = \begin{cases} n/2, & \mathrm{ak}\ n \ \mathrm{p\acute{a}rne} \\ 3n+1, & \mathrm{ak}\ n\ \mathrm{nep\acute{a}rne} \end{cases}	$f(n)=\{\begin{array}{cc}n/2,& \mathrm{a}\mathrm{k}n\mathrm{p}\acute{\mathrm{a}}\mathrm{r}\mathrm{n}\mathrm{e}\\ 3n+1,& \mathrm{a}\mathrm{k}n\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{p}\acute{\mathrm{a}}\mathrm{r}\mathrm{n}\mathrm{e}\end{array}$

Referencie

• D. E. Knuth: The TeXbook, AMS & Addison–Wesley, 1986
• T. Oetiker a kol.: Nie príliš stručný úvod do systému LaTeX 2ε, dostupný na internete

Pozri aj

• TeX