Pologrupa s krátením

V matematike je pologrupa s krátením názov pre pologrupu, ktorá spĺňa zákony o krátení.

T.j. ide o pologrupu $(M,\circ )$ takú, že pre ľubovoľné $a,b,c\in M$ platí

$a\circ b=a\circ c\Rightarrow b=c$

$b\circ a=c\circ a\Rightarrow b=c$

(Ak platí len jedna z uvedených podmienok, hovoríme o krátení zľava resp. sprava.)

Príklady

• Každá grupa je pologrupa s krátením. (A teda aj ľubovoľná jej podpologrupa.)
• Prirodzené čísla s obvyklým sčitovaním tvoria pologrupu s krátením. (Je to podpologrupa grupy $(\mathbb{Z},+)$.)
• Ako jednoduchý príklad pologrupy, v ktorej neplatí zákon o krátení, môžeme zobrať celé čísla s násobením. Pre nulu totiž krátenie nefunguje. (Po vynechaní nuly už dostaneme pologrupu s krátením.)
• Matice typu n×n tvoria s operáciou násobenia pologrupu. Pre singulárne matice však neplatí zákon o krátení.

Vlastnosti

• Ľubovoľná konečná pologrupa s krátením je grupa.
• Komutatívna pologrupa sa dá vložiť do grupy práve vtedy, keď v nej platia zákony o krátení. Konštrukcia grupy z komutatívnej pologrupy s krátením je podobná konštrukcii podielového poľa z oboru integrity. Pre nekomutatívne pologrupy je krátenie nutnou podmienkou pre vložiteľnosť do grupy, nie však postačujúcou.

Literatúra

• Šablóna:Citácia knihy
• Šablóna:Citácia knihy
• Šablóna:Citácia knihy