Matematické kyvadlo

Matematické kyvadlo

Matematické kyvadlo je matematickým modelom kyvadla. Matematické kyvadlo je hmotný bod zavesený na tenkom dokonale pevnom vlákne zanedbateľnej hmotnosti, pričom sa zanedbáva odpor vzduchu pri pohybe kyvadla i trenie v závese a gravitačné pole sa považuje za homogénne. Matematické kyvadlo je mechanický oscilátor, ktorý po dodaní počiatočnej energie voľne kmitá. Pri malých výchylkách (do ±5°) je priebeh tohto kmitania približne harmonický, možno ho vyjadriť pomocou funkcie sínus.

Matematický opis

Na hmotný bod pôsobí len tiažová sila a ťahová sila vlákna, ktorá ho udržuje v stálej vzdialenosti od závesu. Veľkosť výslednej sily je

$F=mg\sin \phi$,

kde $g$ je tiažové zrýchlenie a φ je uhol, o ktorý je vlákno vychýlené z rovnovážnej polohy. Diferenciálna rovnica pre opis pohybu kyvadla je z 2. Newtonovho pohybového zákona

$\ddot{\phi }=-\frac{g}{l}\sin \phi$,

kde $l$ je dĺžka vlákna. Pokiaľ je maximálna výchylka z rovnovážnej polohy ${\phi }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}$ malá, možno funkciu sínus nahradiť lineárnou funkciou

$\sin \phi \approx \phi$.

Diferenciálna rovnica má preto podstatne jednoduchší tvar

$\ddot{\phi }+\frac{g}{l}\phi =0.$

Táto rovnica má partikulárne riešenie

$\phi (t)={\phi }_m\cos (\sqrt{\frac{g}{l}}\cdot t)$,

kde ${\phi }_m$ je počiatočná uhlová výchylka (predpokladáme nulovú počiatočnú rýchlosť, takže je to zároveň maximálna výchylka) a $t$ je čas, čo je pohybová rovnica harmonického oscilátora s periódou

$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.

Periódu ovplyvňuje iba dĺžka kyvadla a tiažové zrýchlenie.

Pozri aj

• Fyzikálne kyvadlo
• Torzné kyvadlo
• Kyv, kmit, Kmitanie