Lagrangeova veta o strednej hodnote

Lagrangeova veta (o strednej hodnote) alebo Veta o strednej hodnote diferenciálneho počtu alebo Lagrangeova veta o prírastku funkcie (pomenovaná podľa Josepha Louisa Lagrangea) je veta v diferenciálnom počte.

Znenie vety

Nech $f:⟨a,b⟩\to ℝ$ je funkcia taká, že

1. f je spojitá na <a,b>,
2. f má v každom bode intervalu (a,b) vlastnú alebo nevlastnú deriváciu.

Potom existuje bod $c\in (a,b)$ taký, že pre prvú deriváciu funkcie f v bode c platí

$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$

Dôkaz

Nech $F:⟨a,b⟩\to ℝ$ je funkcia definovaná ako

$F(x):=f(x)-\lambda x.$

Kde $\lambda$ je konštanta, ktorú zvolíme tak, aby sme mohli použiť Rollovu vetu o strednej hodnote. Teda dostávame

$F(x):=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x.$

Funkcia F(x) na intervale <a,b> vyhovuje predpokladom Rollovej vety o strednej hodnote, čo znamená, že existuje bod $c\in (a,b)$ taký, že platí $F^{\prime }(c)=0$. Derivujeme $F(x)$ podla $x$

$F^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a},$

vyčíslime v bode $c$

$F^{\prime }(c)=f^{\prime }(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0,$

a teda

$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$

Pozri aj

• Cauchyho veta o strednej hodnote
• Rollova veta o strednej hodnote