Cauchyho veta o strednej hodnote

Cauchyho veta o strednej hodnote alebo Cauchyho veta o prírastku funkcie je matematická veta v diferenciálnom počte pomenovaná podľa Augustina Louisa Cauchyho.

Znenie vety

Nech, $f,g:⟨a,b⟩\to ℝ$ sú funkcie, pre ktoré platí:

1. sú spojité na <a,b>,
2. v každom bode z intervalu (a,b) majú vlastnú alebo nevlastnú deriváciu.

Potom existuje bod $c\in (a,b)$ tak, že platí

$f^{\prime }(c)(g(b)-g(a))=g^{\prime }(c)(f(b)-f(a)).$

Ak navyše platia podmienky:

1. $g(b)\ne g(a)$,
2. $\mathrm{\forall }x\in (a,b):g^{\prime }(x)=0\Rightarrow f^{\prime }(x)\ne 0$,

potom možno uvedenú rovnosť prepísať ako

$\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.$

Dôkaz

Definujme

$F(x):=f(x)(g(b)-g(a))-g(x)(f(b)-f(a)).$

Funkcia F(x) spĺňa predpoklady Lagrangeovej vety o strednej hodnote, a preto existuje $c\in (a,b)$ tak, že

$F^{\prime }(c)=\frac{F(b)-F(a)}{b-a}.$

Keďže ale platí F(a) = F(b), musí platiť F'(c) = 0, čo dosadením do vzorca pre deriváciu F v bode c implikuje

$f^{\prime }(c)(g(b)-g(a))-g^{\prime }(c)(f(b)-f(a))=0,$

z čoho už priamo plynie prvá časť dokazovaného tvrdenia.

Na to, aby bolo možné prepísať rovnosť do ekvivalentného tvaru, musí platiť $g(a)\ne g(b)$, ako aj $g^{\prime }(c)\ne 0$. Prvá z podmienok je zaručená v predpokladoch vety, ostáva ukázať, že z predpokladu $\mathrm{\forall }x\in (a,b):g^{\prime }(x)=0\Rightarrow f^{\prime }(x)\ne 0$ vyplýva $g^{\prime }(c)\ne 0$. Ale keby platilo $g^{\prime }(c)=0$, muselo by podľa dokázaného vzťahu platiť $f^{\prime }(c)(g(b)-g(a))=0$, čo ale nie je možné, keďže oba činiteľe sú z predpokladov vety nenulové.

Pozri aj

• Lagrangeova veta o strednej hodnote
• Rollova veta o strednej hodnote