Kvadrika

Kvadrika alebo kvadratická plocha je plocha 2. stupňa v trojrozmernom priestore. Teda ide o plochy, ktoré v pravouhlej súradnicovej sústave $\{0,x,y,z\}$ môžeme zapísať v tvare $a{x}^2+b{y}^2+c{z}^2+dxy+ezy+fxz+gx+hy+iz+j=0$

Definícia

V priestore majme danú rovinu $k$, v nej kužeľosečku $K$ a bod $V$ mimo nej. Množina bodov všetkých priamok $V,X$, kde $X\in K$, sa nazýva kvadratická kužeľová plocha. Voľme súradnicový systém tak, aby $V=[0,0,0]$ a $K:z=c$, kde $c\ne 0$. Potom rovnice kvadratických kužeľových plôch budú:

$\frac{(x-\frac{m}{n}z{)}^2}{a^2}+\frac{(y-\frac{n}{n}z{)}^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$ ... eliptická kužeľová plocha,

$\frac{(x-\frac{m}{n}z{)}^2}{a^2}-\frac{(y-\frac{n}{n}z{)}^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$ ... hyperbolická kužeľová plocha,

$c(y-\frac{n}{c}z{)}^2-2p(x-\frac{m}{c}z)z=0$ ... parabolická kužeľová plocha.

V priestore majme danú rovinu $k$, v nej kužeľosečku $K$ a priamku $p$ rôznobežnú s rovinou $k$ mimo nej. Množina bodov všetkých priamok, ktoré sú rovnobežné s $p$ a pretínajú $K$ sa nazýva kvadratická valcová plocha. Voľme súradnicový systém tak, aby $p\equiv P;\overrightarrow{v}=(v_1,v_2,v_3)$. Potom rovnice kvadratických valcových plôch budú:

$\frac{(x-\frac{v_1}{v_3}z{)}^2}{a^2}+\frac{(y-\frac{v_2}{v_3}z{)}^2}{b^2}=1$ ... eliptická valcová plocha,

$\frac{(x-\frac{v_1}{v_3}z{)}^2}{a^2}-\frac{(y-\frac{v_2}{v_3}z{)}^2}{b^2}=1$ ... hyperbolická valcová plocha,

$(y-\frac{v_2}{v_3}z{)}^2-2p(x-\frac{v_1}{v_3}z)=0$ ... parabolická valcová plocha.

Elipsoid

Elipsoid

Elipsoid je stredová kvadrika s tromi rovinami súmernosti, ktoré pretínajú plochu v elipsách. Kanonické rovnice elipsoidu sú $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ Ak $a=b$, tak daný elipsoid je rotačný. V prípade $a=b=c$ je daný elipsoid guľovou plochou.

Hyperboloid

Jednodielny hyperboloid

Dvojdielny hyperboloid

Kanonické rovnice hyperboloidu sú

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ ... jednodielny hyperboloid,

$-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ ... dvojdielny hyperboloid.

Jednodielny resp. dvojdielny hyperboloid sú stredové kvadriky s tromi rovinami súmernosti, pričom roviny $x=0$ a $y=0$ pretínajú plochu v hyperbolách a rovina $z=0$ v elipse resp. nemá s plochou žiaden spoločný bod. Hyperboloidy, pre ktoré platí $a=b$, sú rotačné hyperboloidy.

Paraboloid

Hyperbolický paraboloid

Paraboloid je nestredová kvadrika s dvomi rovinami súmernosti, ktoré pretínajú plochu v parabolách. Kanonické rovnice paraboloidu sú

$\frac{x^2}{p}+\frac{y^2}{q}=2z$ ... eliptický paraboloid,

$\frac{x^2}{p}-\frac{y^2}{q}=2z$ ... hyperbolický paraboloid,

kde $p,q$ sú kladné čísla. Dotyková rovina kvadrickej plochy $a(x-s_1{)}^2+b(y-s_2{)}^2+c(z-s_3{)}^2+d=0$ v dotykovom bode $M=[m_1,m_2,m_3]$ má rovnicu $a(m_1-s_1)(x-s_1)+b(m_2-s_2)(y-s_2)+c(m_3-s_3)(z-s_3)+d=0$.

Dotyková rovina kvadrickej plochy $a(x-s_1{)}^2+b(y-s_2{)}^2-c(z-s_3{)}^2=0$ v dotykovom bode $M=[m_1,m_2,m_3]$ má rovnicu $a(m_1-s_1)(x-s_1)+b(m_2-s_2)(y-s_2)+c(z+m_3-{2_s}_3)=0$

Pozri aj

• Kužeľosečka
• Guľová plocha
• Kvadratická forma
• Geometria

Literatúra

• M. Billich - M. Trenkler: Zbierka úloh z geometrie. Ružomberok, Verbum. 2013, s. 65

Externé odkazy

• Kvadratické plochy, Výukový materiál
• Kvadriky