Keplerov trojuholník

Keplerot trojuholník

Keplerov trojuholník je v geometrii špeciálny pravouhlý trojuholník so stranami v pomere

$1:\sqrt{\phi }:\phi \approx 1:1.272:1.618$

kde $\phi$ je matematická konštanta zlatý rez, ktorá má hodnotu

$\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Obsahy štvorcov zostrojených nad stranami takéhoto trojuholníka majú obsahy v pomere

$1:\phi :{\phi }^2\approx 1:1.618:2.618$.

Trojuholník je pomenovaný podľa nemeckého matematika Johannesa Keplera.

Vlastnosti

Dĺžky strán $a$, $b$ a $c$ sú harmonický, geometrický a aritmetický priemer dvoch čísel definovaných ako $\phi \pm 1$

$\stackrel{\text{harmonický p. }}{\overbrace{\frac{2}{\frac{1}{\phi -1}+\frac{1}{\phi +1}}}}:\stackrel{\text{geomerický p.}}{\overbrace{((\phi -1)\times (\phi +1){)}^{\frac{1}{2}}}}:\stackrel{\text{aritmetický p.}}{\overbrace{\frac{(\phi -1)+(\phi +1)}{2}}}$.

Dĺžky strán $a$, $b$ a $c$ zodpovedajú prvým trom členom geometrickej postupnosti s kvocientom (pomerom dvoch za sebou idúcich členov) $q=\sqrt{\phi }$ a kde je prvý člen postupnosti $a_1=1$

$\begin{array}{cc}{a}_1& =1\\ a_2& =a_1\times q\approx 1.272\\ a_3& =a_2\times q\approx 1.618\\ \end{array}$.

Obsahy štvorcov zostrojených nad stranami $a$, $b$ a $c$ zodpovedajú prvým trom členom geometrickej postupnosti s kvocientom $q=\phi$ a prvým členom $a_1=1$

$\begin{array}{cc}{a}_1& =1\\ a_2& =a_1\times q\approx 1.618\\ a_3& =a_2\times q\approx 2.618\\ \end{array}$.

Zovšeobecnenie

Vlastnosti Keplerovho trojuholníka nadobúdajú všetky pravouhlé trojuholníky pre ktoré pratí pomer strán

$s:s\sqrt{\phi }:s\phi$

kde $s>0$.