Intervalová aritmetika

Intervalová aritmetika je metóda numerickej matematiky, ktorá okrem iného čiastočne rieši problematiku zaokrúhľovania čísiel. Myšlienkou je nepracovať s exaktne presnou hodnotou (často to ani nie je možné, napr. Ludolfovo číslo, základ prirodzeného logaritmu...), ale zaznamenať spodnú a hornú hranicu intervalu, v ktorom sa táto hodnota nachádza. Napríklad namiesto hodnoty $0.123456789$ bude intervalová aritmetika pracovať s intervalom $⟨0.123,0.124⟩$. Táto aritmetika pracuje s obojstranne uzavretými intervalmi, teda spodná a horná hodnota intervalu patria do samotného intervalu podľa definície:

$⟨x;y⟩=\{n\in ℝ|x\le n\le y\}$.

Pre sčítanie a násobenie platí, že sa zachováva komutatívnosť a asociatívnosť, ale už nie je zachovaná distributívnosť.

Sčítanie

$⟨x_1;x_2⟩+⟨y_1;y_2⟩=⟨x_1+y_1;x_2+y_2⟩$

Odčítanie

$⟨x_1;x_2⟩-⟨y_1;y_2⟩=⟨x_1-y_1;x_2-y_2⟩$

Násobenie

$⟨x_1;x_2⟩\cdot ⟨y_1;y_2⟩=⟨\min \{x_1{y}_1,x_1{y}_2,x_2{y}_1,x_2{y}_2\};\max \{x_1{y}_1,x_1{y}_2,x_2{y}_1,x_2{y}_2\}⟩$

Pokiaľ platí $x_1,y_1\ge 0$, potom možno použiť vzorec

$⟨x_1;x_2⟩\cdot ⟨y_1;y_2⟩=⟨x_1{y}_1;x_2{y}_2⟩$.

Delenie

$\frac{⟨x_1;x_2⟩}{⟨y_1;y_2⟩}=⟨x_1;x_2⟩\cdot \frac{1}{⟨y_1;y_2⟩}$.

Pokiaľ pre deliteľ platí $0\notin ⟨y_1;y_2⟩$, teda sa v intervale nenachádza nula, potom

$\begin{array}{cc}\frac{1}{⟨y_1;y_2⟩}& =⟨\frac{1}{y_2};\frac{1}{y_1}⟩\\ \frac{1}{⟨y_1;0⟩}& =⟨-\mathrm{\infty };\frac{1}{y_1}⟩\\ \frac{1}{⟨0;y_2⟩}& =⟨\frac{1}{y_2};+\mathrm{\infty }⟩\\ \end{array}$.

Ak však platí $0\in ⟨y_1;y_2⟩$, potom

$\frac{1}{⟨y_1;y_2⟩}=⟨-\mathrm{\infty };\frac{1}{y_1}⟩\cup ⟨\frac{1}{y_2};+\mathrm{\infty }⟩\subseteq ⟨-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }⟩$.

Pozri aj

• aritmetická operácia
• interval