Homomorfizmus grúp

Homomorfizmus grúp alebo morfizmus grúp alebo homomorfné zobrazenie grúp $(G,*)$ a $(H,\circ )$ je zobrazenie $f:G⟶H$, pri ktorom pre všetky prvky $x,y\in G$ platí $f(x*y)=f(x)\circ f(y)$, pričom $*$ je operácia grupy $G$ a $\circ$ operácia grupy $H$ (hovoríme tiež, že homomorfizmus zachováva operáciu).

Z tejto definície je možné odvodiť aj nasledujúce vlastnosti homomorfizmu $f$:

• $f(1_G)=1_H$ (daný homomorfizmus zobrazí neutrálny prvok grupy $G$ na neutrálny prvok grupy $H$),
• $f(x^{-1})=(f(x){)}^{-1}$ (daný homomorfizmus zobrazí inverzie prvkov na inverzie ich funkčných hodnôt)

Intuícia

Cieľom definovania homomorfizmu je zostrojiť funkcie, ktoré zachovávajú algebraické štruktúry. Ekvivalentnou definíciou homomorfizmu je: Funkcia $f:G⟶H$ je homomorfizmus ak pre každé $x,y,z\in G$ také, že $x*y=z$ máme $f(x)\circ f(y)=f(z)$

Inými slovami, grupa $H$ má v istom zmysle podobnú algebraickú štruktúru ako $G$ a homomorfizmus $h$ ju zachováva.

Typy homomorfizmov grúp

• Monomorfizmus je homomorfizmus grúp, ktorý je injektívny.
• Epimorfizmus je homomorfizmus grúp, ktorý je surjektívny.
• Izomorfizmus je homomorfizmus, ktorý je bijektívny (t.j. injektívny aj surjektívny). Ak medzi grupami $G$ a $H$ existuje izomorfizmus, hovoríme, že su dané grupy izomorfné, píšeme $G\cong H$. Ak sú dve grupy izomorfné, znamená to, že sú identické a líšia sa len v notácií ich prvkov.

Obraz a jadro

Nech $f:(G,*)\to (H,\circ )$ je homomorfizmus grúp.

Potom množina $f^{-1}\left(\left\{1_H\right\}\right)$ sa nazýva jadro homomorfizmu $f$. zvyčajne sa označuje $\mathrm{Ker}(f)$ (z anglického slova kernel, respektíve z nemeckého kern). Ekvivalentne $\mathrm{Ker}(f)=\{g\in G|f(g)=1_H\}$.

Obrazom homomorfizmu $f$ nazveme množinu $\mathrm{Im}(f)=f(G)=\{f(g)|g\in G\}$ (označenie $\mathrm{Im}(f)$ pochádza z anglického slova image).

Jadro a obraz homomorfizmu môžu byť interpretované ako vyjadrenie, do akej miery je daný homomofizmus blízko izomorfizmu. Prvá veta o izomorfizme hovorí, že obraz homomorfizmu grúp $f(G)$ je izomorfný faktorovej grupe $G/\mathrm{Ker}(f)$.

Zdroje

• Július Korbaš: Lineárna algebra a geometria 1. Bratislava: Univerzita Komenského Bratislava, 2003 (definícia 1.5.6)