Grupa transformácií

Nech $X$ je ľubovoľná množina a nech $𝒫(X)$ značí množinu bijektívnych zobrazení $f:X\to X$. Ľubovoľná podmnožina $G$ množiny $𝒫(X)$, ktorá je uzavretá vzhľadom na skladanie zobrazení a vzhľadom na inverziu sa nazýva grupa transformácií $X$. Grupová operácia je daná skladaním zobrazení $(f,g)\mapsto f\circ g$.

Že $G$ je uzavretá vzhľadom na skladanie zobrazení a vzhľadom na inverziu znamená:

Ak $f,g\in G$, tak $f\circ g\in G$,

ak $f\in G$, tak $f^{-1}\in G$.

Skladanie zobrazení je asociatívna operácia, o čom sa možno ľahko presvedčiť výpočtom. Neutrálny prvok je identita. Inverzný prvok k zobrazeniu $f$ je zobrazenie $f^{-1}$ definované ako $f^{-1}(x)=y$ ak $x=f(y)$. Také $y$ existuje a je jednoznačne dané, čo vyplýva z definície bijektívneho zobrazenia.

Príklad

Množina $𝒫(X)$ všetkých bijekcií $X$ s operáciou skladania zobrazení $\circ$ je grupou transformácií $X$.