Geometrické rozdelenie

Geometrické rozdelenie (iné názvy: geometrické pravdepodobnostné rozdelenie, geometrické rozdelenie pravdepodobnosti) je v teórii pravdepodobnosti a štatistike diskrétne rozdelenie pravdepodobnosti. Je to špeciálny prípad negatívneho binomického rozdelenia, pokiaľ v tomto rozdelení položíme parameter $k$ rovný 1.

Uvažujme postupnosť nezávislých pokusov. Pri každom z týchto pokusov máme rovnakú pravdepodobnosť, že nastane nami sledovaná náhodná udalosť A, a túto pravdepodobnosť označme $p$. Tieto pokusy potom opakujeme do vtedy, kým po prvýkrát nenastane udalosť A. Teda, ak máme $k$ pokusov, tak pri $(k-1)$ pokusoch udalosť A nenastala, nastala až pri k-tom pokuse.

Definícia

Diskrétna náhodná premenná $X$ má geometrické rozdelenie s parametrom $p$, kde $p\in (0,1)$, ak nadobúda hodnoty $k=0,1,2,...$ s pravdepodobnosťami $p_0,p_1,p_2,...$, pričom platí nasledovný vzťah:

$p_k=P(X=k)=p(1-p{)}^k$

Označujeme:

• $X\sim Ge(p)$
• $X\sim Geo(p)$
• $X\sim Geom(p)$

Základné charakteristiky rozdelenia

• Stredná hodnota:

$\mathrm{E}(X)=\frac{1}{p}$

• Rozptyl:

$\mathrm{D}(X)=\frac{1-p}{p^2}$

• Koeficient šikmosti:

${\gamma }_1=\frac{2-p}{\sqrt{1-p}}$

• Momentová vytvárajúca funkcia:

$m(t)=\frac{p}{1-e^t(1-p)}$

Zdroje

• Šablóna:Citácia knihy
• Šablóna:Citácia knihy