Fibonoriál

Fibonoriál je v matematike druh faktoriálu, ktorý je definovaný ako súčin prvých $n$ prvkov Fibonacciho postupnosti. Niekedy sa preto nazýva aj Fibonacciho faktoriál a zvyčajne sa označuje $n{!}_F$. Fibonoriál je pomenovaný podľa talianskeho matematika Leonarda Pisánskeho zvaného Fibonacci.

Definícia

Fibonoriál je definovaný pre každé $n\in \{0,\mathbb{N}\}$

$\begin{array}{cc}n{!}_F& =\prod _{k=1}^n{F}_k\\ & =F_k\cdot F_{k-1}\cdot \dots \cdot F_2\cdot F_1\\ \end{array}$

kde $F_k$ je k-té číslo Fibonacciho postupnosti.

Pre fibonoriál čísla nula platí $0{!}_F=1$.

Aproximáciu fibonoriálu je možné vypočítať podľa vzorca

$n{!}_F\approx C\frac{{\varphi }^{n(n+1)/2}}{5^{n/2}}$

kde $C$ je Fibonacciho faktoriálová konštanta

$C=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}1-a^k$

kde $a$ je

$a=-\frac{1}{{\varphi }^2}$

kde $\varphi$ konštanta zlatého rezu

$\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Prvých desať fibonoriálov

n	n!_F	činitele súčinu
1	1	-
2	1	1*1
3	2	1*1*2
4	6	1*1*2*3
5	30	1*1*2*3*5
6	240	1*1*2*3*5*8
7	3120	1*1*2*3*5*8*13
8	65520	1*1*2*3*5*8*13*21
9	2227680	1*1*2*3*5*8*13*21*34
10	10904493600	1*1*2*3*5*8*13*21*34*55