Fibonacciho postupnosť

Fibonacciho postupnosť je postupnosť čísiel, v ktorej každý ďalší člen F je súčtom dvoch predchádzajúcich členov.

Konštrukcia postupnosti

Postupnosť sa začína číslami 0 a 1, takže dostaneme:

• $F_0=0$, postupnosť je (0)
• $F_1=1$, postupnosť je (0, 1)
• $F_2=F_0+F_1=0+1=1$, postupnosť je (0, 1, 1)
• $F_3=F_1+F_2=1+1=2$, postupnosť je (0, 1, 1, 2)
• $F_4=F_2+F_3=1+2=3$, postupnosť je (0, 1, 1, 2, 3)
• $F_5=F_3+F_4=2+3=5$, postupnosť je (0, 1, 1, 2, 3, 5)
• …

Po zovšeobecnení, pre $n>1$:

$F_n=F_{n-2}+F_{n-1}$

Fibonacciho čísla

Jednotlivé členy postupnosti sa nazývajú Fibonacciho čísla.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393…

Názov postupnosti

Fibonacciho postupnosť a Fibonacciho čísla nazval francúzsky matematik Édouard Lucas (1842-1891) podľa stredovekého talianskeho matematika Leonarda z Pisy, prezývaného Fibonacci.

Postupnosť sa niekedy nazýva aj zlatá cesta (z gréc. χρνσοδρομος, chrysodromos).

Matematické vlastnosti

Zlatý rez

Johannes Kepler upozornil na skutočnosť, že podiel dvoch po sebe nasledujúcich fibonacciho čísel $\left(\frac{F_{n+1}}{F_n}\right)$ konverguje k číslu, ktoré bolo známe už od antiky, označuje sa symbolom φ (grécke písmeno fí) a nazýva sa tiež zlatý rez. Vyjadrené modernou matematikou:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{F_{n+1}}{F_n}=\phi =1,6180339887$

Vzťah čísla φ a Fibonacciho postupnosti ukazujú tiež vzťahy:

$F_n=\frac{{\phi }^n-(1-\phi {)}^n}{\sqrt{5}}$

${\phi }^n=F_{n-1}+\phi F_n$

Súčet postupnosti

$F_0+F_1+\dots +F_n=\sum _{i=0}^n{F}_i=F_{n+2}-1$

$1F_1+2F_2+\dots +n{F}_n=\sum _{i=1}^{n}i{F}_i=F_{n+3}+2$

Fibonacciho čísla sa vyskytujú v sumách "plytkých" uhlopriečok v Pascalovho trojuholníka (pozri koeficient dvojčlen). [17]

    F_ {n} = \ sum_ {k = 0} ^ {\ lfloor \ frac {n-1} {2} \ rfloor} \ tbinom {nk-1} k

Fibonacci čísla možno nájsť v rôznych spôsoboch v poradí binárnych reťazcov.

    * Počet binárnych reťazcov dĺžky n bez následného 1s je Fibonacci číslo Fn +2.
Napríklad, z 16 binárnych reťazcov dĺžky 4, sú F6 = 8 bez následného 1s - sú 0000, 0100, 0010, 0001, 0101, 1000, 1010 a 1001. 

Symetriou, počet reťazcov dĺžky n bez následného 0s je tiež Fn 2.

    * Celkový počet binárnych reťazcov dĺžky n bez nepárneho počtu po sebe idúcich 1s je Fibonacci číslo Fn +1.
Napríklad, z 16 binárnych reťazcov dĺžky 4, sú F5 = 5 bez nepárneho počtu po sebe idúcich 1s - sú 0000, 0011, 0110, 1100, 1111.
    * Počet binárnych reťazcov dĺžky n bez párnym počtom po sebe idúcich 0s alebo 1s je 2Fn.
Napríklad, z 16 binárnych reťazcov dĺžky 4, sú 2f4 Pohostinstvo = 6 bez párnym počtom po sebe idúcich 0s alebo 1s - sú 0001, 1000, 1110, 0111, 0101, 1010.

Externé odkazy

• Fibonacci Series (en)

Šablóna:Matematický výhonok