Doxastická logika

Doxastická logika je odvetvie logiky, ktoré skúma logickú štruktúru viery a presvedčenia, s ktorými klasická výroková alebo predikátová logika nedokážu plnohodnotne narábať. Napríklad výrok

„Verí sa, že tráva má zelenú farbu.“

je z hľadiska klasickej výrokovej logiky atomárny. To znamená, že výroková logika ho chápe ako ďalej nedeliteľný celok a nezaujíma sa o jeho vnútornú štruktúru. Doxastická logika ide hlbšie a rozlišuje v tomto výroku dve komponenty: takzvanú doxastickú modalitu "Verí sa, že" a samotný výrok pod modalitou "Tráva má zelenú farbu". Niektorí logici považujú doxastickú logiku za variantu epistemickej logiky.

V užšom význame pojem doxastická logika označuje konkrétny logický kalkul študovaný v rámci doxastickej logiky vo vyššie uvedenom zmysle.

Indexované doxastické modality

Namisto doxastickej modality "Verí sa, že" ktorá priamo referuje na všetky bytosti schopné veriť, sa vo väčšine doxastických kalkulov uvažujú adresné modality typu "Osoba $a$ verí, že". V takom prípade sa hovorí o indexovanej doxastickej modalite. Doxastické a epistemické logiky sú obľúbenym nástrojom v umelej inteligencii v teórii multiagentových systémov kde sa s ich pomocou študuje podstata a povaha presvedčenia a viery, tak ako si ju o stave okolitého sveta vytvárajú jednotlivé agenty. V tomto kontexte sa indexované modality čítajú "Agenta $a$ verí, že".

Jazyk doxastických kalkulov

Abeceda jazyka väčšiny výrokových doxastických kalkulov obsahuje:

• konečnú alebo spočítateľnú množinu atomárnych symbolov.
• niektoré štandardné spojky výrokovej logiky, ako $\{\to ,\leftrightarrow ,\mathrm{\neg },\vee ,\wedge \}$.
• a doxastický modálny operátor $\mathrm{B}$ ak ide o doxastickú logiku bez indexovaných modalít alebo nanajvýš spočítateľne veľa indexovaných operátorov $\{{\mathrm{B}}_a,{\mathrm{B}}_b,{\mathrm{B}}_c,\dots \}$ ak ide o doxastickú logiku s indexovanými modalitami.

Písmeno "B" v názve doxastického operátora poukazuje na anglické "belief", čiže "viera". Správne sformované formule v jazyku doxastickej logiky môžu vyzerať napríklad takto:

• $\mathrm{B}\phi$, čo sa číta: "Verí sa, že $\phi$".
• ${\mathrm{B}}_a\phi$, čo sa číta: "Osoba $a$ verí, že $\phi$".
• V jazyku doxastickej logiky sa dajú aj veľmi zložité tvrdenia zapísať mimoriadne jednoducho a úsporne. Napríklad formula ${\mathrm{B}}_a{\mathrm{B}}_c\mathrm{\neg }\phi \to \mathrm{\neg }{\mathrm{B}}_b{\mathrm{B}}_c\phi$ sa môže čítať takto: "Ak osoba $a$ verí, že osoba $c$ verí, že $\phi$ nie je pravda, potom osoba $b$ neverí, že osoba $c$ verí, že $\phi$ je pravda".

Vzťah k epistemickej logike

V epistemickej logike sa pracuje s operátorom $\mathrm{K}$ alebo s jeho indexovanou verziou ${\mathrm{K}}_a$, pričom formula

${\mathrm{K}}_a\phi$

sa číta "Osoba $a$ vie, že $\phi$". Pri výstavbe niektorých epistemických kalkulov sa vychádza z doxastickej logiky a operátor ${\mathrm{K}}_a$ sa v nich definuje iba ako syntaktická skratka, napríklad predpisom

${\mathrm{K}}_a\phi {\iff }_{{}_{𝑑𝑒𝑓}}{\mathrm{B}}_a\phi \wedge \phi$.

Čiže to, že osoba $a$ niečo vie, znamená práve tolko, že je o tom osoba $a$ presvedčená a navyše to tak naozaj je.

Pozri aj

• Epistemická logika

Referencie

• John-Jules Ch. Meyer: Modal epistemic and Doxastic Logic. pp. 1-38, v "Handbook of Philosophical Logic", Springer 2004 ISBN 1402016441