Difúzna sila

Difúzna sila (označovaná $\vec{F_{i, d i f}}$ ) je hnacia sila difúzie, ktorej smer je daný gradientom koncentrácie^[1] (resp. chemického potenciálu), čiže smeruje z miest s vysokou koncentráciou na miesta s nízkou koncentráciou. Proti pôsobeniu difúznej sily pôsobí trecia sila (sila odporu viskózneho prostredia) ${\vec{F_{i,}}}_{t r e n i e}$ , pričom platí:

$\vec{F_{i, d i f}} = - {\vec{F_{i,}}}_{t r e n i e}$

Pozorovaná konštantná rýchlosť i-tej častice $\vec{v_{i, d i f}}$ je teda daná protismerným pôsobením difúznej sily $\vec{F_{i, d i f}}$ a sily odporu difúzneho prostredia ${\vec{F_{i,}}}_{t r e n i e}$ . Druhý Newtonov zákon totiž hovorí, že pôsobenie konštantne veľkej sily (u difúzie $\vec{F_{i, d i f}}$ ) na i-tú časticu by malo byť sprevádzané rovnomerne zrýchleným pohybom tejto i-tej častice, nie konštatnou rýchlosťou i-tej častice. Konštantná rýchlosť i-tej častice je teda výsledkom ustanovenia rovnováhy medzi pôsobením hnacej sily $\vec{F_{i, d i f}}$ a brzdiacej sily prostredia ${\vec{F_{i,}}}_{t r e n i e}$ , v ktorom sa i-tá častica pohybuje.^[1]

Odvodenie difúznej sily

Maximálna neobjemová práca $d W$ spojená s látkovým tokom jednej častice zložky $i$ z miesta, kde je jej chemický potenciál $μ_{i}$ , do miesta s chemickým potenciálom $μ_{i} + d μ_{i}$ , v systéme, kde chemický potenciál $μ_{i}$ závisí na súradnici $y$ :

$d W = \frac{1}{N_{A}} \cdot {(\frac{d μ_{i}}{d y})}_{T, p} d y$ ^[2]

Vzťah difúznej sily $\vec{F_{i, d i f}}$ a maximálnej neobjemovej práce $d W$ je

$d W = - \vec{F_{i, d i f}} d y$ ^[2]

Porovnaní vyššie uvedených vzťahov dostaneme vzťah pre difúznu silu $\vec{F_{i, d i f}}$ :

$\vec{F_{i, d i f}} = - \frac{1}{N_{A}} \cdot {(\frac{d μ_{i}}{d y})}_{T, p}$ ^[2]

Chemický potenciál i-tej zložky $μ_{i}$ je:

$μ_{i} = μ_{i}^{o} + R T l n a_{i}$

kde $μ_{i}^{o}$ je štandardný chemický potenciál i-tej zložky, $a_{i}$ je aktivita i-tej zložky, ktorú je možné v ideálnom roztoku nahradiť koncentráciami $c_{i}^{o}$ , čo je štandardná koncentrácia i-tej zložky $c_{i}^{o} = 1 \frac{m o l}{d m^{3}}$ a platí: $a_{i} = \frac{c_{i}}{c_{i}^{o}}$ .^[2]

Potom dosadením za chemický potenciál i-tek zložky $μ_{i}$ dostaneme vzťah pre difúznu silu $\vec{F_{i, d i f}}$ :

$\vec{F_{i, d i f}} = - \frac{R T}{N_{A}} \cdot {(\frac{d l n (a_{i})}{d y})}_{T, p}$ ^[2]

derivácia pritodzeného logaritmu aktivity i-tej zložky bude:

$\vec{F_{i, d i f}} = - \frac{R T}{N_{A} a_{i} l n (e)} \cdot {(\frac{d a_{i}}{d y})}_{T, p}$

keďže platí $l n (e) = 1$ , tak dostaneme:

$\vec{F_{i, d i f}} = - \frac{R T}{N_{A} a_{i}} \cdot {(\frac{d a_{i}}{d y})}_{T, p}$

nahradením aktivity i-tek zložky $a_{i}$ koncentráciou i-tej zložky $c_{i}$ v ideálnom roztoku, $c_{i}^{o}$ , čo je štandardná koncentrácia i-tej zložky $c_{i}^{o} = 1 \frac{m o l}{d m^{3}}$ a platí: $a_{i} = \frac{c_{i}}{c_{i}^{o}}$ .^[2]

$\vec{F_{i, d i f}^{o}} = - \frac{R T}{N_{A} c_{i}} \cdot {(\frac{d c_{i}}{d y})}_{T, p}$

a keďže Boltzmanova konštanta $k_{B}$ je $k_{B} = \frac{R}{N_{A}}$ :

$\vec{F_{i, d i f}^{o}} = - \frac{k_{B} T}{c_{i}} \cdot {(\frac{d c_{i}}{d y})}_{T, p}$ ^[2]

Vzťah difúznej sily a sily odporu viskózneho prostredia

Vieme, že pre stojacu i-tú časticu platí:

$\vec{F_{i, d i f}} = - {\vec{F_{i,}}}_{t r e n i e}$

Pre silu odporu viskóznehoprostredia platí:

${\vec{F_{i,}}}_{t r e n i e} = f_{i} v_{i}$

kde $f_{i}$ je koeficient trenia (frikcie), $v_{i}$ je rýchlosť pohybu i-tej častice.^[2]

$- \frac{k_{B} T}{c_{i}} \cdot {(\frac{d c_{i}}{d y})}_{T, p} = f_{i} v_{i}$

a vyjadrením rýchlosti pohybu i-tej častice $v_{i}$ , dostaneme:

$v_{i} = - \frac{k_{B} T}{f_{i} c_{i}} \cdot {(\frac{d c_{i}}{d y})}_{T, p}$

a vyjadrením súčinu rýchlosti pohybu i-tej častice $v_{i}$ a koncentrácie i-tej častice $c_{i}$ , dostaneme:

$v_{i} c_{i} = - \frac{k_{B} T}{f_{i}} \cdot {(\frac{d c_{i}}{d y})}_{T, p}$

dosadením do vzťahu pre látkový tok i-tej častice $J_{i} = v_{i} c_{i}$

$J_{i} = - \frac{k_{B} T}{f_{i}} \cdot {(\frac{d c_{i}}{d y})}_{T, p}$

a podľa prvého Fickovho zákona:

$J_{i} = - D_{i} \cdot {(\frac{d c_{i}}{d y})}_{T, p}$

dosadením dostávame:

$- \frac{k_{B} T}{f_{i}} \cdot {(\frac{d c_{i}}{d y})}_{T, p} = - D_{i} \cdot {(\frac{d c_{i}}{d y})}_{T, p}$

vykrátením parciálnych derivácii a záporných znamienok dostávame vzťah pre difúzny koeficient i-tej častice $D_{i}$ :

$D_{i} = \frac{k_{B} T}{f_{i}}$ ,

čo je Einsteinova rovnica pre difúzny koeficient i-tej častice $D_{i}$ , kde $f_{i}$ je koeficient trenia, pre ktorý platí:

$f_{i} = 6 π η r_{i}$

Čiže vzťah difúznej sily $\vec{F_{i, d i f}}$ a sily odporu viskózneho prostredia ${\vec{F_{i,}}}_{t r e n i e}$ je Einsteinova rovnica pre difúzny koeficient i-tej častice $D_{i}$ .^[2]

Referencie

Šablóna:Referencie

Pozri aj

↑ ^1,0 ^1,1 Šablóna:Citácia knihy
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 ^2,4 ^2,5 ^2,6 ^2,7 ^2,8 Šablóna:Citácia knihy

[:03-1] 1,0 ^1,1 Šablóna:Citácia knihy

[:2-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 ^2,4 ^2,5 ^2,6 ^2,7 ^2,8 Šablóna:Citácia knihy

[1]

[2]

Difúzna sila

Obsah

Odvodenie difúznej sily

Vzťah difúznej sily a sily odporu viskózneho prostredia

Referencie

Pozri aj

Navigačné menu

Difúzna sila

Odvodenie difúznej sily

Vzťah difúznej sily a sily odporu viskózneho prostredia

Referencie

Pozri aj

Navigačné menu

Hľadať