Bernoulliho nerovnosť

Bernoulliho nerovnosť je využívaná pri dokazovaní zložitejších matematických viet. Samotná nerovnosť má tvar

$(1+x{)}^n\ge 1+nx;n\in \mathbb{N},x\in (-1;+\mathrm{\infty })$

Dôkaz

Dôkaz Bernoulliho nerovnosti nie je zložitý, vyžaduje základy dokazovania matematickou indukciou. V prvom kroku sa overí platnosť pre prvé prirodzené číslo $n=1$. Dostaneme $1+x=1+x$ čo je zrejme pravda. Indukčný predpoklad je teda platnosť

$(\text{i})(1+x{)}^k\ge 1+kx$

po splnení už uvedených podmienok. V druhom kroku sa snažíme z pravdivosti (i) odvodiť platnosť

$(\text{ii})(1+x{)}^{k+1}\ge 1+(k+1)x$

Tvar nerovnosti (ii) možno prepísať na tvar

$(1+x{)}^k\ge \frac{1+kx+x}{1+x}$

Teraz je potrebné dokázať, že platí

$1+kx\ge \frac{1+kx+x}{1+x}$

Po úprave dospejeme na tvar $k{x}^2\ge 0$ odkiaľ už vidno, že pôvodná nerovnosť platí.

Použitie nerovnosti pri dôkazoch

Príkladom, môže byť dôkaz o existencií limity postupnosti

${\left\{{\left(\frac{n+1}{n}\right)}^n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$

pričom treba dokázať ohraničenosť a monotónnosť tejto postupnosti.