Bézierova krivka

Príklad použitia Bézierovej krivky

Bézierova krivka je jednou z mnohých parametrických kriviek. Umožňuje interaktívne vytváranie a modifikáciu svojho tvaru. Pomocou Bézierovej krivky je možno reprezentovať aj interpolačné krivky (existujú napríklad algoritmy na prevod medzi interpolačnými spline kubikami a B-spline kubikami resp. Bézier kubikami).

Definícia

Skladanie Bézierových kriviek

Bézierova krivka n-tého stupňa pre n+1 zadaných kontrolných bodov, ktoré tvoria tzv. riadiaci polygón, je pre $t\in <0,1>$ definovaná ako

$C(t)=\sum _{i=0}^n{B}_{i,n}(t)P_i$,

pričom $B_{i,n}(t)$ je i-tý Bernsteinov polynóm n-tého stupňa:

$B_{i,n}(t)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})t^i(1-t{)}^{n-i}$

Bernsteinove polynómy tvoria bázu vektorového priestoru polynómu a spĺňajú rekurentný vzorec:

$B_{i,n}(t)=(1-t)\cdot B_{i,n-1}(t)+t\cdot B_{i-1,n-1}(t)$,

navyše $B_{i,n}=0\mathrm{\forall }(i<0)\vee (i>n)$, ďalej $B_{0,0}=1$. Je tak možný stabilný číselný rekurzívny výpočet hodnoty Bézierovej krivky pomocou Casteljauho algoritmu:

$\begin{array}{cc}{C}_i^0(t)& =P_i\\ C_i^j(t)& =(1-t)C_i^{j-1}(t)+t{C}_{i+1}^{j-1}(t)\{\begin{array}{c}j=1,...,n\\ i=0,...,n-j.\end{array}\end{array}$