Normálne rozdelenie

Normálne rozdelenie (iné názvy: Gaussovo rozdelenie, normálne rozdelenie pravdepodobnosti, Gaussovo rozdelenie pravdepodobnosti) je jedno z najdôležitejších rozdelení pravdepodobnosti spojitej náhodnej veličiny.

Týmto rozdelením pravdepodobnosti sa síce neriadi veľké množstvo veličín, ale jeho význam spočíva v tom, že za určitých podmienok dobre aproximuje rad iných pravdepodobnostných rozdelení (spojitých aj diskrétnych).

V súvislosti s normálnym rozdelením sa často spomínajú náhodné chyby, napr. chyby merania, spôsobené veľkým počtom neznámych a vzájomne nezávislých príčin. Preto sa normálne rozdelenie označuje aj ako zákon chýb. Podľa tohoto zákona sa riadi aj rozdelenie niektorých fyzikálnych a technických veličín.

Rozdelenie pravdepodobnosti

Hustota normálneho rozdelenia pravdepodobnosti

Normálne rozdelenie pravdepodobnosti s parametrami $\mu$ a ${\sigma }^2$, pre $-\mathrm{\infty }<\mu <\mathrm{\infty }$ a ${\sigma }^2>0$, je pre $-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }$ definované hustotou pravdepodobnosti v tvare

$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{{(x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}$.

Normálne rozdelenie sa väčšinou značí $\mathrm{N}(\mu ,{\sigma }^2)$. Rozdelenie $\mathrm{N}(0,1)$ býva označované ako normované (alebo štandardizované) normálne rozdelenie. Normované normálne rozdelenie má teda hustotu pravdepodobnosti

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{x^2}{2}}$

Charakteristiky rozdelenia

Stredná hodnota normálneho rozdelenia je

$\mathrm{E}(X)=\mu$

Normálne rozdelenie má rozptyl

$\mathrm{D}(X)={\sigma }^2$

Pre medián dostaneme

$x_{0,5}=\mu$

Koeficienty šikmosti a špicatosti normálneho rozdelenia sú:

${\gamma }_1=0$

${\gamma }_2=1$

Momentovou vytvárajúcou funkciou normálneho rozdelenia možno zapísať v tvare

$m(z)={\mathrm{e}}^{z\mu +\frac{z^2{\sigma }^2}{2}}$

Pre prirodzené čísla $k$ možno momenty písať ako

${\mu }_{2k-1}=0$

${\mu }_{2k}=\frac{(2k)!}{k!2^k}{\sigma }^{2k}$

Distribučná funkcia

Distribučná funkcia normálneho rozdelenia je

$F(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-\frac{{(t-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}\mathrm{d}t$

Distribučnú funkciu normálneho rozdelenia nemožno vyjádriť elementárnymi funkciami.

Viacrozmerné rozdelenie

Keď máme $s$-rozmerný náhodný vektor $X$, ktorého združená hustota pravdepodobnosti má tvar

$f(x_1,x_2,...,x_s)=\frac{1}{\sqrt{{(2\pi )}^s\left|𝐂\right|}}{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}{(𝐱-\mathit{\mu })}^T{𝐂}^{-1}(𝐱-\mathit{\mu })}$

pre $-\mathrm{\infty }<x_i<\mathrm{\infty }$, $i=1,2,...,s$, kde $𝐂$ je symetrická, pozitivne definitná matica a $𝐱={(x_1,x_2,...,x_s)}^T$ a $\mathit{\mu }={({\mu }_1,{\mu }_2,...,{\mu }_s)}^T$ sú stĺpcové vektory. V takom prípadě hovoríme o $s$-rozmernom normálnom rozdelení, ktoré predstavuje zovšeobecnenie normálneho rozdelenia pre viacrozmernú náhodnú veličinu.

Charakteristiky viacrozmerného rozdelenia

Momentovú vytvárajúcu funkciu možno vyjadriť ako

$m(z_1,z_2,...,z_s)={\mathrm{e}}^{({𝐳}^T\mathit{\mu }+\frac{{𝐳}^T𝐂𝐳}{2})}$

Z predchádzajúceho vzťahu možno odvodiť, že $\mathit{\mu }$ predstavuje vektor stredných hodnôt a $𝐂$ kovariančnú maticu.

Marginálne rozdelenie

Marginálnym rozdelením veličiny $X_i$ je jednorozmerné normálne rozdelenie $\mathrm{N}({\mu }_i,{\sigma }_i^2)$, marginálnym rozdelením veličín $X_i,X_j$ pre $i\ne j$ je dvojrozmerné normálne rozdelenie, atď.

Pozri aj

• Rozdelenie pravdepodobnosti

Zdroje

• Šablóna:Preklad