Permutácia (kombinatorika)

Permutácia alebo poradie základného súboru n prvkov je skupina všetkých n prvkov, pri ktorej záleží na poradí prvkov v nej (pričom toto poradie môže byť ľubovoľné). Ako permutácia alebo premiestnenie sa označuje aj proces vytvorenia takejto skupiny.
Slovo permutovať znamená obmieňať. V angličtine sa pojem vzťahuje aj na variácie.

Rozlišujeme permutácie s opakovaním a bez opakovania.

Permutácie bez opakovania

M je množina n rôznych prvkov, z ktorých tvoríme n - tice, pričom prvky v n - ticiach sa nemôžu opakovať. $P(n)=n!$, kde $n!$ označuje faktoriál.

Ak sa nehovorí inak, sú permutácie myslené bez opakovania.

Príklad

Máme skupinu troch rôznych prvkov $a,b,c$. Permutácie týchto prvkov predstavujú skupiny $abc$, $acb$, $bac$, $bca$, $cab$, $cba$.
Ich počet je teda: $P(3)=3!=6$

Permutácie s opakovaním

M je množina n prvkov, z ktorých je $k_1$ rovnakých 1. druhu, $k_2$ je rovnakých 2. druhu, až $k_r$ je rovnakých r - tého druhu, pričom platí: $k_1+k_2+...+k_r=n$.
Prvky vo výbere sa teda môžu opakovať. Počet permutácií s opakovaním je určený ako:

$P_{k_1,k_2,...,k_r}(n)=\frac{n!}{k_1!\cdot k_2!\cdot ...\cdot k_r!}$,

Príklad

1. Máme skupinu troch prvkov $a,a,b$. Skupina je teda zložená z dvoch skupín (teda $k=2$), pričom prvá skupina má dva prvky $a$, tzn. $k_1=2$, a druhá skupina obsahuje jeden prvok $b$, tzn. $k_2=1$.

Permutáciami s opakovaním získame skupiny $aab$, $aba$, $baa$. Počet týchto skupín je teda rovný: $P_{2,1}(3)=\frac{3!}{2!\cdot 1!}=3$

2. Koľkými spôsobmi možno rozsadiť 8 žiakov, z ktorých majú dvaja zelené, traja červené a ďalší traja modré vetrovky?
Riešenie: $P_{2,3,3}(8)=\frac{8!}{2!\cdot 3!\cdot 3!}=560$

Pozri aj

• Variácia (kombinatorika)
• Kombinácia (kombinatorika)
• Kombinatorika
• Faktoriál

Použitá literatúra

• Marián Olejár a kol.: Zbierka vzorcov z matematiky, Vydavateľstvo Young Scientist, ISBN 80-88792-16-9