Jadro (lineárna algebra)

V lineárnej algebre sa jadro (nazývané aj nulový priestor) lineárneho zobrazenia $f:V\to W$ definuje ako množina všetkých vektorov $v\in V$ ktoré sa zobrazia na nulový vektor v priestore $W$, teda:

$ker(f)=\{f(\overrightarrow{v})=\overrightarrow{0};v\in V\}$

Vlastnosti

1. Jadro je uzavreté na sčítanie a skalárne násobenie, teda tvorí lineárny podpriestor definičného oboru transformácie
2. Lineárna transformácia je injektívna práve vtedy, keď $ker(f)=\{\overrightarrow{0}\}$
3. Dimenzia jadra lineárneho zobrazenia sa nazýva nulitná dimenzia (alebo jednoducho nulita) a platí vzťah medzi dimenziami:$dim(V)=dim(ker(f))+dim(im(f))$

Príklad

Majme lineárne zobrazenie $f:{ℝ}^3\to {ℝ}^2$ dané maticou $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right]$. Jadro zobrazenia $f$ je riešením homogénnej sústavy rovíc $Ax=0$ t.j:

$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$.

Toto vieme prepísať na sústavu lineárnich rovníc:

$\{\begin{array}{c}{x}_1+2x_2+3x_3=0\\ 4x_1+5x_2+6x_3=0\end{array}$

Riešením tejto sústavy je $ker(f)=\{[1,-2,1{]}^T\}$ , teda jadro je jednodimenzionálny podpriestor generovaný vektorom $[1,-2,1{]}^T$.