Horný odhad

Horný odhad alebo majoranta, je matematický pojem z teórie usporiadania.

Definícia

Ak je množina A usporiadaná reláciou $R$ a B je podmnožina A, potom prvok $a\in A$ je horným odhadom B, práve keď $(\mathrm{\forall }b\in B)(b\le a)$.

Množina $B\subseteq A$ je zhora obmedzená, pokiaľ pre ňu existuje aspoň jeden horný odhad.

Vlastnosti horného odhadu

• Pokiaľ má množina $B\subseteq A$ najväčší prvok, potom je tento prvok horným odhadom.
• Pomocou pojmu horný odhad sa definuje pojem supremum množiny ako najmenší prvok množiny (alebo triedy) všetkých horných odhadov (pokiaľ táto množina má najmenší prvok).

Príklady

Nech A je množina všetkých reálných čísiel (A = R), B je množina všetkých reálnych čísiel x takých, že x² < 3 a nech R je relácia obvyklého ostrého usporiadania reálnych čísiel (tj. R = <). Potom B pri usporiadaní R je napríklad číslo 10. Najmenším odhadom je číslo $s=\sqrt{3}$.

Nech A je trieda všetkých ordinálnych čísiel (A = On), B je množina všetkých konečných ordinálnych čísiel (tj. množina prirodzených čísiel) a R = $\in$ je usporiadanie na triede On. Potom majorantou B pri usporiadaní R je každé nekonečné ordinálne číslo, najmenšou majorantou je číslo $s=\omega (={\mathrm{\aleph }}_0)$.

Pozri aj

• Dolný odhad
• Supremum
• Infimum