Wishartovo rozdelenie

Wishartovo rozdelenie (iné názvy: Wishartovo pravdepodobnostné rozdelenie, Wishartovo rozdelenie pravdepodobnosti) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike viacrozmerné rozdelenie pravdepodobnosti. Wishartovo rozdelenie je viacrozmerný analóg ${\chi }^2$-rozdelenia alebo, v prípade neceločísleného počtu stupňov voľnosti, gama rozdelenia.

Wishartovo rozdelenie je jedno z rozdelení pravdepodobnosti, ktoré definujeme cez symetrické, nezáporne definitné matice, ktoré vystupujú ako náhodné premenné (tzv. „náhodné matice“). Rozdelenie je veľmi dôležité pri odhadovaní a získavaní odhadov kovariančných matíc vo viacrozmerných štatistických analýzach.

Rozdelenie je pomenované podľa matematika Johna Wisharta, ktorý prvýkrát v roku 1928 toto rozdelenie popísal.

Definícia

Majme náhodný výber ${𝐗}_1,{𝐗}_2,\cdots ,{𝐗}_n$ z normálneho $p$-rozmerného rozdelenia s parametrami $𝐎$ a $\mathrm{\Sigma }$, teda $N_p(𝐎,\mathrm{\Sigma })$. Ďalej nech $𝐗$ je matica typu n  ×  p definovaná nasledovne: ${𝐗}^T=({𝐗}_1,{𝐗}_2,\cdots ,{𝐗}_n)$. Potom matica $𝐖$ definovaná nasledovným vzťahom:

$𝐖={𝐗}^T𝐗$

má Wishartovo rozdelenie s $n$ stupňami voľnosti.

Označenie:

• $𝐖\sim {𝐖}_p(\mathrm{\Sigma },n)$

Vlastnosti

Pokiaľ položíme kovariančnú maticu $\mathrm{\Sigma }={𝐈}_p$, tak hovoríme, že Wishartovo rozdelenie má štandardizovaný tvar, teda: $W\sim {𝐖}_p(I_p,n)$

Pre $p=1$, teda v prípade 1-rozmerného Wishartovho rozdelenia, sa toto rozdelenie zhoduje s ${\chi }^2$-rozdelením s n stupňami voľnosti vynásobeným disperziou, teda:

$\mathrm{W}\sim W_1({\sigma }^2,n)\sim {\sigma }^2{\chi }^2(n)$

Pokiaľ máme maticu $𝐖$, ktorá má p-rozmerné Wishartovo rozdelenie s $n$ stupňami voľnosti, teda $𝐖\sim {𝐖}_p(\mathrm{\Sigma },n)$ a maticu $𝐀$, ktorá je typu p  ×  q, tak matica $𝐁$, ktorú dostaneme prenásobením matice $𝐖$ zľava aj sprava maticou $𝐀$, má tiež Wishartovo rozdelenie s $n$ stupňami voľnosti, ale q-rozmerné a s inou kovariančnou maticou:

$𝐁={𝐀}^T𝐖𝐀\sim {𝐖}_q({𝐀}^T\mathrm{\Sigma }𝐀,n)$

Zdroje a referencie

• Šablóna:Citácia knihy
• Šablóna:Preklad