Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie

Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie (pravdepodobnosti) (iné názvy: Fisherovo-Snedecorovo pravdepodobnostné rozdelenie, Fisherovo-Snedecorovo F-rozdelenie, Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie F, Fisherovo (F-)rozdelenie (pravdepodobnosti), Snedecorovo (F-)rozdelenie (pravdepodobnosti), F-rozdelenie (pravdepodobnosti), rozdelenie F) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike spojité rozdelenie pravdepodobnosti.

Rozdelenie je pomenované podľa Ronaldovi Aylmerovi Fisherovi a Georgeovi Waddelovi Snedecorovi, dvoch významných matematikoch.

Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie má v matematickej štatistike veľmi významné postavenie a využitie. Najčastejšie sa používa pri testovaní štatistických hypotéz. Pri tomto testovaní sa využívajú kritické hodnoty F-rozdelenia, ktoré sú tabelované a na základe nich vieme testovanú štatistickú hypotézu prijať alebo zamietnuť.

Definícia

Nech $X$ je náhodná premenná, nech $x>0$, a nech $m$ a $n$ sú prirodzené čísla. Hovoríme, že $X$ má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie s $m$ a $n$ stupňami voľnosti (môžeme tiež písať: (m, n) - stupňami voľnosti), ak jej hustota rozdelenia má nasledovný tvar:

$f_{m,n}(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{m+n}{2})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{m}{2})\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2})}(\frac{m}{n}{)}^{\frac{m}{2}}{x}^{\frac{m}{2}-1}(1+\frac{m}{n}x{)}^{-\frac{m+n}{2}}& \mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}x>0\\ 0& \mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{e}x\le 0\end{array}$

kde označenie $\mathrm{\Gamma }(\alpha )$ označuje gama funkciu (ktorá sa tiež nazýva aj Eulerov integrál druhého druhu) a je definovaná nasledovne:

$\mathrm{\Gamma }(\alpha )=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x}{x}^{\alpha -1}\mathrm{d}x$

Označenie:

• $\mathrm{X}\sim F(m,n)$

Ďalšie vyjadrenia

Náhodnú premennú X, ktorá má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie, môžeme tiež vyjadriť aj pomocou dvoch ${\chi }^2$-kvadrátov, a to nasledovne:
Majme dve náhodné premenné $Y$ a $Z$, ktoré sú nezávislé. Nech o nich platí, že $Y$ má ${\chi }^2$-kvadrát rozdelenie s $m$ stupňami voľnosti a $Z$ nech má ${\chi }^2$-kvadrát rozdelenie s $n$ stupňami voľnosti, teda: $\mathrm{Y}\sim {\chi }^2(m)$ a $\mathrm{Z}\sim {\chi }^2(n)$. Potom náhodná premenná $F$ definovaná vzťahom:

$F=\frac{\frac{Y}{m}}{\frac{Z}{n}}$

má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie s $m$ a $n$ stupňami voľnosti.

Rozdelenie môžeme tiež vyjadriť aj pomocou dvoch náhodných výberov z normálneho rozdelenia, a to nasledovne:
Majme náhodný výber $(X_1,...,X_m)$ z nejakého základného súboru, ktorý má normálne rozdelenie $N({\mu }_1;{\sigma }_1^2)$, ďalej majme náhodný výber $(Y_1,...,Y_n)$ z ďalšieho základného súboru, ktorý má normálne rozdelenie $N({\mu }_2;{\sigma }_2^2)$. Nech $S_1^2$ a $S_2^2$ sú výberové rozptyly a nech pre $m$, $n$, ${\sigma }_1^2$ a ${\sigma }_2^2$ platí nasledovné:

• $m\ge 2$
• $n\ge 2$
• ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$

Potom náhodná premenná $F$ definovaná vzťahom:

$F=\frac{S_1^2}{S_2^2}$

má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie s $m-1$ a $n-1$ stupňami voľnosti (alebo: $(m-1,n-1)$-stupňami voľnosti).

Vlastnosti

Ako vidíme z definície, toto rozdelenie závisí od počtu stupňov voľnosti. Graf rozdelenia je asymetrický.
Pokiaľ má náhodná premenná $X$ Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie, tak potom jej $k-ty$ začiatočný moment má nasledovný tvar:

${\mu }_k={\left(\frac{n}{m}\right)}^k\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{m}{2}+k)\mathrm{\Gamma }(n2-k)}{\mathrm{\Gamma }(m2)\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2})}$

Z tohto vzťahu ľahko vidíme, že pre strednú hodnotu a disperziu náhodnej premennej $X$ s Fisherovým-Snedecorovým rozdelením platí nasledovné:

$E(X)=\frac{n}{n-2}$ ; pre $n>2$

$D(X)=\frac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2{)}^2(n-4)}$ ; pre $n>4$

Kritická hodnota

Kritické hodnoty sa využívajú pri testovaní štatistických hypotéz a pre Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie sú tabelované. Kritickú hodnotu môžeme zadefinovať nasledovne:

Nech $X$ je náhodná premenná, ktorá má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie s $m$ a $n$ stupňami voľnosti. Potom hodnotu $\mathrm{F}(m,n,\alpha )$, ktorú náhodná premenná $X$ presiahne so zvolenou pravdepodobnosťou $\alpha$ nazývame kritickou hodnotou Fisherovho-Snedecorovho rozdelenia. Teda matematicky zapísané:

$P(X>F(m,n,\alpha ))=\underset{F(m,n,\alpha )}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_{m,n}(x)\mathrm{d}x=\alpha$

Externé odkazy

• Tabuľka kritických hodnôt F-rozdelenia

Zdroje

• Šablóna:Citácia knihy
• Šablóna:Citácia knihy
• Šablóna:Citácia knihy
• Šablóna:Citácia knihy