Riccatiho rovnica

Šablóna:Bez zdroja Riccatiho rovnica je nelineárna Obyčajná diferenciálna rovnica prvého rádu

$y^{\prime }(x)=q_0(x)+q_1(x)y(x)+q_2(x)y^2(x)$

kde funkcie $q_i,i=0,1,2$ sú zadané a predpokladá sa, že $q_0(x),q_2(x)=0$.

Transformácia na lineárnu rovnicu druhého rádu

Riccatiho rovnicu možno upraviť na lineárnu rovnicu druhého rádu.

Ak $q_2=0$, tak nová funkcia $v=y{q}_2$ je riešením špeciálnej Riccatiho rovnici

$v^{\prime }=v^2+R(x)v+S(x),$

kde význam symbolov $S,R$ je nasledovný

$S=q_2{q}_0,R=q_1+\left(\frac{{q_2}^{\prime }}{q_2}\right)$.

Ak teraz urobíme substitúciu $v=-u^{\prime }/u$, tak zistíme, že funkcia $u$ spĺňa lineárnu rovnicu druhého rádu

$u^{″}-R{u}^{\prime }+Su=0.$

Riešenie $y$ pôvodnej Riccatiho rovnice potom súvisí s riešením $u$ lineárnej rovnice vzťahom

$y=-u^{\prime }/(q_{2}u).$

Štruktúra riešení Riccatiho rovnice

Vzťah medzi Riccatiho rovnicou a lineárnou rovnicou druhého rádu umožňuje detailne preskúmať množinu riešení Riccatiho rovnice. Menovite, ak poznáme nejaké riešenie Riccatiho rovnice, označme ho $Y$, tak potom všeobecné riešenie je tvaru

$Y+u.$

Dosadením tohoto vzťahu do Riccatiho rovnice dostávame podmienku na funkciu $u$

$u^{\prime }-(q_1+2q_{2}Y)u=q_2{u}^2,$

čo je Bernoulliho diferenciálna rovnica, ktorú riešime úpravou na lineárnu diferenciálnu rovnicu prvého rádu pomocou substitúcie

$z=\frac{1}{u}$

s výslednou rovnicou

$z^{\prime }+(q_1+2q_{2}Y)z=-q_2$

Čiže zhrnieme, ak $Y$ je nejaké riešenie pôvodnej Riccatiho rovnice, tak všeobecné riešenie Riccatiho rovnice má tvar

$y=Y+\frac{1}{z},$

kde $z$ je všeobecné riešenie uvedenej lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu.