Lineárna diferenciálna rovnica prvého rádu (ODR)

Lineárna diferenciálna rovnica prvého rádu je obyčajná diferenciálna rovnica prvého rádu tvaru

$y^{\prime }(x)+p(x)y(x)=q(x),$

kde $p,q$ sú zadané funkcie. Takáto rovnica sa zvykne volať nehomogénna alebo aj rovnica s pravou stranou. V tomto prípade totiž nejde o ozajstnú lineárnu rovnicu v zmysle, že by lineárna kombinácia jej riešení bola znova riešením. Takú vlastnosť máme jedine ak pravá strana (zdrojový člen) je identicky rovná nule. V tom prípade hovoríme o homogénnej lineárnej diferenciálnej rovnici prvého rádu.

Riešenie homogénnej rovnice

$y^{\prime }(x)+p(x)y(x)=0\Rightarrow \frac{\mathrm{d}y}{y}=-p(x)\mathrm{d}x\Rightarrow y(x)=\exp (-\int p(x)\mathrm{d}x).$

Riešenie nehomogénnej rovnice

Pôvodnú nehomogénnu rovnicu vyriešime tzv. metódou variácie konštanty, riešenie predpokladáme v tvare

$y(x)=z(x)\exp (-\int p(x)\mathrm{d}x),$

čo po dosadení vedia na podmienku pre funkciu $z$ (variovanú konštantu) v tvare

$z^{\prime }(x)=q(x)\exp (\int p(x)\mathrm{d}x)\Rightarrow z(x)=\int \mathrm{d}x\exp (\int p(x)\mathrm{d}x),$

a teda pre riešenie pôvodnej rovnice máme

$y(x)=\frac{\int \mathrm{d}x\exp (\int p(x)\mathrm{d}x)}{\exp (\int p(x)\mathrm{d}x)}.$