Portál:Matematika/Odporúčaný článok/35 2011

Laplaceov operátor (alebo len Laplace) je diferenciálny operátor vo vektorovej analýze, definovaný ako divergencia gradientu daného skalárneho, alebo vo všeobecnosti tenzorového poľa. Ak je aplikovaný na skalárne pole, výsledkom je opäť skalárne pole, ak je aplikovaný na tenzorové pole, výsledkom je tenzorové pole rovnakého stupňa. Označuje sa symbolom $\mathrm{\Delta }$.

Laplace je invariantný voči zámene súradníc – to znamená, že (ak je aplikovaný na vektorové pole či tenzorové pole), výsledok je opäť vektorové pole či tenzorové pole.

Matematický opis

Definícia Laplaceovho operátora zapísaná pomocou operátora nabla, resp. pomocou operátorov divergencie a gradientu, má tvar

$\mathrm{\Delta }={\mathrm{\nabla }}^2=\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$.

Hoci je táto definícia nezávislá na sústave súradníc, väčšinou sa zapisuje špeciálne v karteziánskych súradniciach ako

$\mathrm{\Delta }=\sum _{i=1}^n\frac{{\partial }^2}{\partial x_i^2}$

v n-rozmernom priestore alebo špeciálne

$\mathrm{\Delta }=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}.$

v trojrozmernom priestore.

Dôležitým špeciálnym prípadom Laplaceovho operátoru je jeho vyjadrenie v Minkowského štvorrozmernom priestore, ktoré sa často používa v teórii relativity pri popise dejov v časopriestore. Toto vyjadrenie sa nazýva d’Alembertov operátor, označuje sa symbolom $◻$ a má hodnotu

$◻=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}.$

Celý článok...