Portál:Matematika/Odporúčaný článok/2 2011

Topologický priestor je matematická štruktúra, ktorá umožňuje formalizovať a zovšeobecniť koncepty ako konvergencia, spojitosť, či kompaktnosť. Tieto sú definované na základe vzťahov medzi množinami, na rozdiel od metrických priestorov, kde sa definujú pomocou vzdialenosti. Topologické priestory sa ako formalizácia vyskytujú takmer vo všetkých oblastiach matematiky. Sú predmetom štúdia topológie.

Klasická definícia

Topologický priestor je usporiadaná dvojica $(X,\tau )$, kde X je množina a $\tau$, ktorej prvky sa nazývajú aj otvorené množiny, je množina podmnožín X, pre ktorú sú splnené nasledujúce tri podmienky:

1. Prázdna množina a množina X sú otvorené, teda

   $\mathrm{\varnothing }\in \tau X\in \tau .$

2. Zjednotenie ľubovoľného počtu otvorených množín je otvorená množina, teda pre každé $S\subseteq \tau$:

   $\bigcup _{Y\in S}Y\in \tau .$

3. Prienik každých dvoch otvorených množín je otvorená množina, teda

   $A\in \tau \wedge B\in \tau \Rightarrow A\cap B\in \tau .$

Tretia podmienka je ekvivalentná s podmienkou, ktorá hovorí, že prienik ľubovoľného konečného počtu otvorených množín je otvorená množina.

Množina $\tau$ sa nazýva aj topológia na množine X, toto pomenovanie má však odlišný význam ako názov topológia v zmysle vedy o topologických priestoroch. Prvky množiny X sa zvyčajne nazývajú body, podmnožiny X patriace do $\tau$ sa nazývajú otvorené množiny, každý komplement otvorenej množiny sa nazýva uzavretá množina.

Je dôležité si uvedomiť, že množina uzavretých množín v X nie je to isté ako ${\tau }^C$. Množina totiž môže byť otvorená aj uzavretá súčasne. Takýmito množinami sú napríklad $\mathrm{\varnothing }$ alebo X, keďže sú komplementárne (pracuje sa s univerzom X) a zároveň otvorené (z definície topologického priestoru).

Celý článok...