Lagrangeov polynóm

Lagrangeov polynóm, pomenovaný podľa Josepha Louisa Lagrangea, je v numerickej matematike interpolujúci polynóm pre danú množinu bodov v Lagrangeovom tvare. V roku 1779 ho objavil Edward Waring a v roku 1783 ho znovuobjavil Leonhard Euler.

Je povšimnutia hodné, že pre danú množinu bodov existuje len jeden polynóm (najmenšieho možného stupňa), ktorý interpoluje dané body. Preto je správnejšie o Lagrangeovom polynóme hovoriť ako o Lagrangeovom tvare interpolujúceho polynómu, než o Lagrangeovom interpolujúcom polynóme.

Na obrázku je kubický Lagrangeov interpolujúci polynóm L(x) (zobrazený čiernou farbou) pre body (−9, 5), (−4, 2), (−1, −2) a (7, 9). Tento polynóm je súčtom konštantných faktorov bázických polynómov y₀ℓ₀(x), y₁ℓ₁(x), y₂ℓ₂(x) a y₃ℓ₃(x). Interpolujúci polynóm prechádza cez všetky štyri body, každý z bázických polynómov prechádza jedným z daných bodov a na x-ových súradniciach daných ostatnými bodmi má hodnotu 0.

Definícia

Nech je daná množina k + 1 bodov

$(x_0,y_0),\dots ,(x_j,y_j),\dots ,(x_k,y_k)$

kde žiadne dve hodnoty $x_j$ nie sú rovnaké. Potom interpolujúci polynóm v Lagrangeovom tvare pre túto množinu bodov je lineárna kombinácia

$L(x):=\sum _{j=0}^k{y}_j{\ell }_j(x)$

Lagrangeových bázických polynómov

${\ell }_j(x):=\prod _{f=0,f\ne j}^k\frac{x-x_f}{x_j-x_f}=\frac{(x-x_0)}{(x_j-x_0)}\cdots \frac{(x-x_{j-1})}{(x_j-x_{j-1})}\frac{(x-x_{j+1})}{(x_j-x_{j+1})}\cdots \frac{(x-x_k)}{(x_j-x_k)}.$

Je povšimnutia hodné, že za predpokladu, že žiadne dve hodnoty $x_i$ nie sú rovnaké (a to ani nemôžu byť, keďže by daná úloha nedávala zmysel), platí $x_j-x_f\ne 0$, čiže daný výraz je vždy dobre definovaný.

Dôkaz

Aby funkcia L(x) naozaj bola hľadaným interpolujúcim polynómom, musí platiť, že je to polynóm najviac k teho stupňa, pričom pre každé $0\le j\le k$ musí platiť $L(x_j)=y_j$.

Ak toto tvrdenie platí pre všetky j, hovoríme, že daný polynóm je riešením interpolačného problému.

Dokážeme teda dané tvrdenie:

1. Vo výraze ${\ell }_j(x)$ je k členov súčinu, pričom každý člen obsahuje práve x práve raz, teda L(x) (ktorý je tým pádom súčtom polynómov k-teho stupňa) musí byť tiež polynóm k-teho stupňa.
2. ${\ell }_j(x_i)=\prod _{f=0,f\ne j}^k\frac{x_i-x_f}{x_j-x_f}$

Skúmajme teraz, čo sa stane, ak rozvinime tento súčin. Keďže súčin vynecháva hodnotu $f=j$, ak $i=j$, tak všetky členy sú rovné $\frac{x_j-x_f}{x_j-x_f}=1$ (lebo stále platí $x_j\ne x_f$). Ak $i\ne j$, jeden z členov súčinu, konkrétne ten, pre ktorý platí $f=i$, bude mať hodnotu $\frac{x_i-x_i}{x_j-x_i}=0$, a teda vynuluje celý súčin. Čiže platí

${\ell }_j(x_i)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{ak }j=i\\ 0,& \text{ak }j\ne i\end{array}={\delta }_{ji}$

kde ${\delta }_{ij}$ je Kroneckerov symbol. Teda:

$L(x_i)=\sum _{j=0}^k{y}_j{\ell }_j(x_i)=\sum _{j=0}^k{y}_j{\delta }_{ji}=y_i.$

To ale znamená, že L(x) je polynóm stupňa najviac k, pričom platí $L(x_i)=y_i$. Navyše, takýto interpolujúci polynóm je určený jednoznačne.

Externé odkazy

• Článok na ALGLIB o polynomiálnej interpolácii s implementáciami metódy v jazykoch C++, C#, VBA a Pascal Šablóna:Eng icon.
• Článok o Lagrangeových polynómoch na Wolfram MathWorld Šablóna:Eng icon.
• Rôzne materiály Šablóna:Webarchive k Lagrangeovej interpolácii Šablóna:Eng icon.