Štvoruholník

Štvoruholník je rovinný geometrický útvar, mnohouholník so štyrmi vrcholmi a štyrmi stranami.

Vlastnosti

Súčet veľkostí vnútorných uhlov štvoruholníka je rovný 360° (2π), čo vyplýva z toho, že ho možno uhlopriečkou rozdeliť na dva trojuholníky.

Obvod štvoruholníka so stranami a, b, c, d je rovný

$O=a+b+c+d=2s,$

kde s je polovičný obvod, vyskytujúci sa v ďalších vzorcoch.

Obsah štvoruholníka je rovný

$S=\frac{1}{2}ef\sin \phi$,

kde e, f sú dĺžky uhlopriečok a φ je (ľubovoľný) uhol, ktorý zvierajú.

Klasifikácia štvoruholníkov

Štvoruholníky môžu byť konvexné (vypuklé) alebo nekonvexné (konkávne, vyduté). Konvexné sa ďalej delia na: rôznobežník – žiadne dve protiľahlé strany nie sú rovnobežné rovnobežník (kosodĺžnik) – dve a dve protiľahlé strany sú rovnobežné obdĺžnik – všetky vnútorné uhly sú pravé kosoštvorec – všetky strany majú rovnakú dĺžku štvorec – všetky strany majú rovnakú dĺžku a všetky vnútorné uhly sú pravé lichobežník – jeden pár protiľahlých strán je rovnobežný deltoid – dve dvojice vzájomne priliehajúcich strán majú rovnakú veľkosť Pre niektoré štvoruholníky sa používa zvláštne označenie, napr.: tetivový štvoruholník – štvoruholník, ktorému možno opísať kružnicu dotyčnicový štvoruholník – štvoruholník, ktorému možno vpísať kružnicu dvojstredový štvoruholník – štvoruholník, ktorému možno opísať aj vpísať kružnicu

Konvexný štvoruholník

Konvexný štvoruholník má všetky vnútorné uhly konvexné.

Pre jeho obsah platí Bretschneiderov vzorec:

$S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot {\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right)},$

kde a, b, c, d sú strany štvoruholníka, s jeho polovičný obvod, α a γ uhly pri protiľahlých vrcholoch (napr. A a C).

Odtiaľ plynie, že štvoruholník s danou postupnosťou strán má najväčší obsah, pokiaľ je to tetivový štvoruholník.

Má 4 vrcholy, 4 strany, 4 vnútorné uhly a dve uhlopriečky.

Pozri aj

• Geometrický útvar