Wilksovo lambda rozdelenie

Wilksovo lambda rozdelenie (iné názvy: Wilksovo rozdelenie, Wilksovo rozdelenie Lambda, Lambda rozdelenie, $\mathrm{\Lambda }$-rozdelenie) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike viacrozmerné rozdelenie pravdepodobnosti (spojité). Rozdelenie dostaneme súčinom beta rozdelení. Wilksovo lambda rozdelenie je viacrozmerným analógom jednorozmerného F-rozdelenia.

Rozdelenie je pomenované podľa matematika Samuela S. Wilksa.

Definícia

Majme dva matice $𝐀$ a $𝐁$. Nech matica $𝐀$ má p-rozmerné Wishartovo rozdelenie s m stupňami voľnosti, teda: $𝐀\sim {𝐖}_p(𝐈;m)$ a nech matica $𝐁$ má tiež p-rozmerné Wishartovo rozdelenie s n stupňami voľnosti, teda: $𝐁\sim {𝐖}_p(𝐈;n)$, pričom platí, že $m\ge p$ a symbolom $𝐈$ označujeme jednotkovú maticu. Nech sú tieto dve matice nezávislé. Potom náhodná veličina $\mathrm{\Lambda }$ definovaná nasledovným vzťahom:

$\mathrm{\Lambda }=\frac{det|𝐀|}{det|𝐀+𝐁|}=det|𝐈+{𝐀}^{-1}𝐁{|}^{-1}$

má Wilksovo lambda rozdelenie s parametrami p, m a n.

Označenie

V literatúre sa prevažne používa označenie veľkým gráckym písmenom lambda $\mathrm{\Lambda }(p,m,n)$. Niekedy sa toto rozdelenie označuje aj malým gréckym písmenom lambda $\mathit{\lambda }$.

Vlastnosti a vzťahy

Ako už bolo v úvode spomenuté, náhodná premenná s Wilksovým lambda rozdelením vznikne ako súčin náhodných premenných s beta rozdelením. Uvažujme teda n nezávislých náhodných premenných $A_1,A_2,\cdots ,A_n$, pričom každá z týchto náhodných premenných má beta rozdelenie, teda:

$A_j\sim Beta(\frac{m+j-p}{2};\frac{p}{2})$

kde $j=1,2,\cdots ,p$. Potom náhodná premenná definovaná ako súčin: $A=\prod _{j=1}^p{A}_j$

má Wilksovo lambda rozdelenie s parametrami p, m a n, teda: $A\sim \mathrm{\Lambda }(p,m,n)$.

Existuje niekoľko základných vzťahov medzi $\mathrm{\Lambda }$–rozdelením a Fisherovo-Snedecorovým rozdelením. Tieto vzťahy sa dajú odvodiť vďaka tomu, že existujú vzťahy medzi beta rozdelením a Fisherovo-Snedecorovým rozdelením.

• $\frac{1-\mathrm{\Lambda }(p,m,1)}{\mathrm{\Lambda }(p,m,1)}\sim \frac{p}{m-p+1}F(p;m-p+1)$

• $\frac{1-\mathrm{\Lambda }(1,m,n)}{\mathrm{\Lambda }(1,m,n)}\sim \frac{n}{m}F(n;m)$

• $\frac{1-\sqrt{\mathrm{\Lambda }(p,m,2)}}{\sqrt{\mathrm{\Lambda }(p,m,2)}}\sim \frac{p}{m-p+1}F(2p;2(m-p+1))$

• $\frac{1-\sqrt{\mathrm{\Lambda }(2,m,n)}}{\sqrt{\mathrm{\Lambda }(2,m,n)}}\sim \frac{n}{m-1}F(2n;2(m-1))$

V predchádzajúcich vzťahoch sa za parametre p a n použili postupne hodnoty 1 a 2. Pokiaľ chceme dostať nejaký vzťah aj pre iné hodnoty, musíme predpokladať, že parameter m je dostatočne veľký. V takom prípade môžeme použiť Bartlettovu asymptotickú aproximáciu, podľa ktorej platí nasledovné:

$-[m-\frac{p-n+1}{2}]\ln \mathrm{\Lambda }(p,m,n)\sim {\chi }^2(np)$

pričom ${\chi }^2(np)$ označuje Χ²-rozdelenie s príslušným počtom stupňov voľnosti.

Zdroj

• Šablóna:Citácia knihy