Vlastné vektory a vlastné hodnoty

Pri tejto lineárnej transformácií červená šípka zmení smer, ale modrá šípka nie. Modrá šípka je teda vlastný vektor tejto lineárnej transformácie, pretože nemení smer, a keďže dĺžka tohto vektora zostáva nezmenená, jej vlastná hodnota je 1

Vlastné vektory a vlastné hodnoty (alebo vlastné čísla) sú matematické pojmy používané v lineárnej algebre, ktoré charakterizujú špecifické vektory, ktoré pri pôsobení lineárnej transformácie nemenia svoj smer, no môžu zmeniť orientáciu alebo veľkosť. Matematicky to možno zapísať ako

$T𝐯=\lambda 𝐯$

kde $T$ je nejaká lineárna transformácia, $𝐯$ je vlastný vektor danej lineárnej transformácie a $\lambda$ je jeho vlastná hodnota. Znamená to, že po aplikácii lineárnej transformácie je výsledkom operácie ten istý vektor (vlastný vektor) vynásobený nejakým číslom (vlastná hodnota alebo vlastné číslo).

Definícia

Nech $A$ je štvorcová matica veľkosti $n\times n$ nad poľom $ℝ$ (alebo $ℂ$). Nenulový vektor $v\in {ℝ}^n$(alebo $v\in {ℂ}^n$) sa nazýva vlastný vektor matice $A$, ak existuje skalár $\lambda \in ℝ$ (alebo $\lambda \in ℂ$) pre ktorý platí:

$Av=\lambda v$

Číslo $\lambda$ sa nazýva vlastné číslo matice $A$, ktoré prislúcha k vlastnému vektoru $v$. Vlastné čísla matice $A$ sú riešenia charakteristickej rovnice, ktorá sa získava pomocou determinantu:

$\det (A-\lambda I)=0$

kde $I$ je jednotková matica veľkosti $n\times n$. Po určení vlastných čísel sa k nim hľadajú vlastné vektory riešením homogénnej sústavy lineárnych rovníc:

$(A-\lambda I)v=0$

Výpočet

Nech $A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& -1\end{array}\right]$.

Najskôr treba určiť vlastné čísla matice. Vlastné čísla sú riešenia charakteristickej rovnice, ktorá je získaná z rovnice $\det (A-\lambda I)=0$, t. j.:

$det(\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& -1\end{array}\right]-\lambda \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right])=0$

$det(\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& -1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& \lambda \end{array}\right])=0$

$\left|\begin{array}{cc}(1-\lambda )& 2\\ 4& (-1-\lambda )\end{array}\right|=0$

$(1-\lambda )(-1-\lambda )-8=0$

${\lambda }^2-9=0$

Charakteristický polynóm matice $A$ teda bude ${\lambda }^2-9$, a riešením charakteristickej rovnice sú vlastné čísla ${\lambda }_1=3;{\lambda }_2=-3$.

Následne možno vypočítať vlastný vektor. Pre vlastné číslo ${\lambda }_1=3$ potom platí:

$(\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& -1\end{array}\right]-3\times \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right])\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=0$

$(\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& -1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right])\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=0$

$\left[\begin{array}{cc}-2& 2\\ 4& -4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=0$

Z tejto sústavy získame dve rovnice:

$\{\begin{array}{c}-2x+2y=0\\ 4x-4y=0\end{array}$

Tieto rovnice sú lineárne závislé, takže postačuje riešiť jednu z nich:

$-2x+2y=0⟹y=x$

Vlastné vektory teda majú tvar

$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=x\times \left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right];x\in ℝ\mathrm{\setminus }\{0\}$

Vlastný vektor pre ${\lambda }_1=3$ môže teda byť napríkad vektor ${\left[\begin{array}{cc}1& 1\end{array}\right]}^T$. Obdobné riešenie potom možno použiť i pre druhú vlastnú hodnotu.