Vesica piscis

Vesica piscis.

Vesica piscis je geometrický útvar tvorený prienikom dvoch kružníc $k_1$ a $k_2$ s rovnakým polomerom, ktoré sa pretínajú takým spôsobom, že stred kružnice $k_1$ leží na kružnici $k_2$ a opačne. Respektíve vzdialenosť stredov kružníc $k_1$ a $k_2$ je rovná ich polomerom.

Názov pochádza z latinského jazyka, v ktorom označuje plávací vzduchový mechúr väčšiny rýb, ktorý sa na tento geometrický tvar veľmi podobá.

Tento geometrický útvar už skúmal Archimedes zo Syrakúz, ktorý prišiel na to, že pomer výšky a šírky vesica piscis je druhá odmocnina čísla tri, ktorú stanovil nerovnicou $\frac{1351}{780}>\sqrt{3}>\frac{265}{153}$ .

Vlastnosti

Vesica piscis je tvorená dvomi rovnostrannými trojuholníkmi $\mathrm{△}ABC$ a $\mathrm{△}ABD$, ktorých strany sú rovné polomeru kružníc a štyrmi kruhovými úsečami, ktorých tetivy sú taktiež rovné polomeru kružníc.

Obsah vesica piscis je tvorený súčtom dvoch vzorcov pre výpočet obsahu rovnostranného trojuholníka $(S_{\mathrm{△}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4})$ kde $(a=r)$ a štyroch kruhových úsečí $(S_{KU}=\frac{1}{2}{r}^2(\frac{\pi \alpha }{180}-\sin (\alpha )))$ kde $(\alpha =60^{\circ })$. Vzorec pre obsah vesica piscis po úpravách uvedených vzorcov teda znie

$S_{VP}=2S_{\mathrm{△}}+4S_{KU}=\frac{1}{6}(4\pi -3\sqrt{3})r^2\approx 1.2284r^2$.

Pomer úsečiek $|AB|$ a $|CD|$ (viď ilustrácia) je vždy konštantný a dá sa vyjadriť pomerom $\text{polomer}:2\times \text{výška }\mathrm{△}ABC$, čo je $r:\frac{2r\sqrt{3}}{2}$, čo je približne $1:1.732$.